$3$\displaystyle{\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} 1- x \hspace{2}}}$ のマクローリン展開

$3$\displaystyle{\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} 1- x \hspace{2}}=1+x+{x}^{2}+{x}^{3}+{x}^{4}+\cdots }$

■導出

$3$\displaystyle{f $x$ =\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} 1- x \hspace{2}}={ $ 1- x $ }^{ - 1 }}$ とおく．　　 $3$\displaystyle{f $0$ ={1}^{ - 1 }=1}$

$3$\displaystyle{\begin{array}{lll}{f}^{\prime } $x$ = $ - 1 $ { $ 1- x $ }^{ - 2 }{ $ 1- x $ }^{\prime }& \vspace{6}\\ \text{\hspace{5}}\text{\hspace{5}}\text{\hspace{5}}= $ - 1 $ { $ 1- x $ }^{ - 2 } $ - 1 $ & \vspace{6}\\ \text{\hspace{5}}\text{\hspace{5}}\text{\hspace{5}}=1\cdot { $ 1- x $ }^{ - 2 }& \vspace{6}\\ \end{array}}$ 　　　　 $3$\displaystyle{{f}^{\prime } $0$ =1\text{\hspace{5}}\text{\hspace{5}}}$ 　　　

$3$\displaystyle{\begin{array}{lll}{f}^{ \prime \prime } $x$ = $ - 2 $ \cdot 1\cdot { $ 1- x $ }^{ - 3 }{ $ 1- x $ }^{\prime }& \vspace{6}\\ \text{\hspace{5}}\text{\hspace{5}}\text{\hspace{5}}=2\cdot 1\cdot { $ 1- x $ }^{ - 3 }& \vspace{6}\\ \text{\hspace{5}}\text{\hspace{5}}\text{\hspace{5}}= $ 2! $ { $ 1- x $ }^{ - 3 }& \vspace{6}\\ \end{array}}$ 　　 $3$\displaystyle{{f}^{ \prime \prime } $0$ =2!}$

$3$\displaystyle{\begin{array}{lll}{f}^{ \prime \prime \prime } $x$ = $ - 3 $ $ 2! $ { $ 1- x $ }^{ - 4 }{ $ 1- x $ }^{\prime }& \vspace{6}\\ \text{\hspace{5}}\text{\hspace{5}}\text{\hspace{5}}= $ 3! $ { $ 1+x $ }^{ - 4 }& \vspace{6}\\ \end{array}}$ 　　 $3$\displaystyle{{f}^{ \prime \prime \prime } $0$ =3!}$

$3$\displaystyle{\begin{array}{lll}{f}^{ $4$ } $x$ = $ - 4 $ $ 3! $ { $ 1- x $ }^{ - 5 }{ $ 1- x $ }^{\prime }& \vspace{6}\\ \text{\hspace{5}}\text{\hspace{5}}\text{\hspace{5}}= $ 4! $ { $ 1+x $ }^{ - 5 }& \vspace{6}\\ \end{array}}$ 　　 $3$\displaystyle{{f}^{ $4$ } $0$ =4!}$

$3$\displaystyle{\begin{array}{lll}{f}^{ $5$ } $x$ = $ - 5 $ $ 4! $ { $ 1- x $ }^{ - 6 }{ $ 1- x $ }^{\prime }& \vspace{6}\\ \text{\hspace{5}}\text{\hspace{5}}\text{\hspace{5}}= $ 5! $ { $ 1- x $ }^{ - 6 }& \vspace{6}\\ \end{array}}$ 　　 $3$\displaystyle{{f}^{ $5$ } $0$ =5!}$

したがって，マクローリン展開の公式

$3$\displaystyle{f $x$ =f $0$ +{f}^{\prime } $0$ x+\frac{\hspace{2} {f}^{ \prime \prime } $0$ \hspace{2}}{\hspace{2} 2! \hspace{2}}{x}^{2}}$ $3$\displaystyle{+\frac{\hspace{2} {f}^{ \prime \prime \prime } $0$ \hspace{2}}{\hspace{2} 3! \hspace{2}}{x}^{3}}$ $3$\displaystyle{+\cdots \cdots }$ $3$\displaystyle{+\frac{\hspace{2} {f}^{ $n$ } $0$ \hspace{2}}{\hspace{2} n! \hspace{2}}{x}^{n}}$ $3$\displaystyle{+\cdots \cdots }$

に代入して

$3$\displaystyle{\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} 1- x \hspace{2}}=1+1\cdot x+\frac{\hspace{2} 2! \hspace{2}}{\hspace{2} 2! \hspace{2}}{x}^{2}+\frac{\hspace{2} 3! \hspace{2}}{\hspace{2} 3! \hspace{2}}{x}^{3}}$ $3$\displaystyle{+\frac{\hspace{2} 4! \hspace{2}}{\hspace{2} 4! \hspace{2}}{x}^{3}+\cdots }$

$3$\displaystyle{=1+x+{x}^{2}+{x}^{3}+{x}^{4}+\cdots }$

■収束半径

$3$\displaystyle{\hspace{1}{a}_{n}=1}$ , $3$\displaystyle{\hspace{1}{a}_{ n+1 }=1}$

$3$\displaystyle{{ \lim }\limits_{ n\rightarrow \infty } \| \frac{\hspace{2} \hspace{1}{a}_{ n+1 } \hspace{2}}{\hspace{2} \hspace{1}{a}_{n} \hspace{2}} \| ={ \lim }\limits_{ n\rightarrow \infty } \| \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}1\hspace{2}} \| =1}$

よって，収束半径 $3$\displaystyle{R}$ は

$3$\displaystyle{R=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}1\hspace{2}}=1}$

となる．

■インターラクティブなグラフ

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最終更新日： 2022年12月7日