$3$\displaystyle{\cos x}$ のマクローリン展開

$3$\displaystyle{\cos x=1- \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} 2! \hspace{2}}{x}^{2}+\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} 4! \hspace{2}}{x}^{4}- \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} 6! \hspace{2}}{x}^{6}+\cdots }$

■導出

$3$\displaystyle{f $x$ =\cos x}$ とおく．　　 $3$\displaystyle{f $0$ =\cos 0=1}$

$3$\displaystyle{{f}^{\prime } $x$ =- \sin x}$ 　　 $3$\displaystyle{{f}^{\prime } $0$ =- \sin 0=0}$

$3$\displaystyle{{f}^{ \prime \prime } $x$ =- \cos x}$ 　　 $3$\displaystyle{{f}^{ \prime \prime } $0$ =- \cos 0=- 1}$

$3$\displaystyle{{f}^{ \prime \prime \prime } $x$ =\sin x}$ 　　 $3$\displaystyle{{f}^{ \prime \prime \prime } $0$ =\sin 0=0}$

$3$\displaystyle{{f}^{ $4$ } $x$ =\cos x}$ 　　 $3$\displaystyle{{f}^{ $4$ } $0$ =\cos 0=1}$

$3$\displaystyle{{f}^{ $5$ } $x$ =- \sin x}$ 　　 $3$\displaystyle{{f}^{ $5$ } $0$ =- \sin 0=0}$

である（以下，これの繰り返し）．すなわち， $3$\displaystyle{m=0,1,2\cdots }$ に対して

$3$\displaystyle{{f}^{ $n$ } $0$ = \{\begin{array}{lll}0\text{\hspace{5}}\text{\hspace{5}} $ n=2m+1 $ & \vspace{6}\\ 1\text{\hspace{5}}\text{\hspace{5}} $ n=4m $ & \vspace{6}\\ - 1\text{\hspace{5}}\text{}\text{} $ n=4m+2 $ & \vspace{6}\\ \end{array} }$

したがって，マクローリン展開の公式

$3$\displaystyle{f $x$ =f $0$ +{f}^{\prime } $0$ x+\frac{\hspace{2} {f}^{ \prime \prime } $0$ \hspace{2}}{\hspace{2} 2! \hspace{2}}{x}^{2}}$ $3$\displaystyle{+\frac{\hspace{2} {f}^{ \prime \prime \prime } $0$ \hspace{2}}{\hspace{2} 3! \hspace{2}}{x}^{3}}$ $3$\displaystyle{+\cdots \cdots }$ $3$\displaystyle{+\frac{\hspace{2} {f}^{ $n$ } $0$ \hspace{2}}{\hspace{2} n! \hspace{2}}{x}^{n}}$ $3$\displaystyle{+\cdots \cdots }$

に代入して

$3$\displaystyle{\cos x=1+0\cdot x+\frac{\hspace{2} \left({ - 1 }\right) \hspace{2}}{\hspace{2} 2! \hspace{2}}{x}^{2}+\frac{\hspace{2}0\hspace{2}}{\hspace{2} 3! \hspace{2}}{x}^{3}}$ $3$\displaystyle{+\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} 4! \hspace{2}}{x}^{4}}$ $3$\displaystyle{+\frac{\hspace{2}0\hspace{2}}{\hspace{2} 5! \hspace{2}}{x}^{5}+\frac{\hspace{2} \left({ - 1 }\right) \hspace{2}}{\hspace{2} 6! \hspace{2}}{x}^{6}+\cdots }$

$3$\displaystyle{=1- \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} 2! \hspace{2}}{x}^{2}+\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} 4! \hspace{2}}{x}^{4}- \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} 6! \hspace{2}}{x}^{6}+\cdots }$

■収束半径

$3$\displaystyle{\hspace{1}{a}_{n}=\frac{\hspace{2} { $ - 1 $ }^{n} \hspace{2}}{\hspace{2} $ 2n $ ! \hspace{2}}}$ ， $3$\displaystyle{\hspace{1}{a}_{ n+1 }=\frac{\hspace{2} { $ - 1 $ }^{ n+1 } \hspace{2}}{\hspace{2} $ 2n+1 $ ! \hspace{2}}}$

$3$\displaystyle{{ \lim }\limits_{ n\rightarrow \infty } \| \frac{\hspace{2} \hspace{1}{a}_{ n+1 } \hspace{2}}{\hspace{2} \hspace{1}{a}_{n} \hspace{2}} \| ={ \lim }\limits_{ n\rightarrow \infty } \| \frac{\hspace{2} \frac{\hspace{2} { $ - 1 $ }^{ n+1 } \hspace{2}}{\hspace{2} $ 2n+1 $ ! \hspace{2}} \hspace{2}}{\hspace{2} \frac{\hspace{2} { $ - 1 $ }^{n} \hspace{2}}{\hspace{2} $ 2n $ ! \hspace{2}} \hspace{2}} \| }$ $3$\displaystyle{={ \lim }\limits_{ n\rightarrow \infty } \| \frac{\hspace{2} { $ - 1 $ }^{ n+1 } \hspace{2}}{\hspace{2} { $ - 1 $ }^{n} \hspace{2}}\cdot \frac{\hspace{2} $ 2n $ ! \hspace{2}}{\hspace{2} $ 2n+1 $ ! \hspace{2}} \| }$ $3$\displaystyle{={ \lim }\limits_{ n\rightarrow \infty } \| - \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} $ 2n+1 $ \hspace{2}} \| =0}$

よって，収束半径 $3$\displaystyle{R}$ $3$\displaystyle{ $ R=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}{\alpha}\hspace{2}} $ }$ は $3$\displaystyle{{\alpha}\rightarrow 0}$ より $3$\displaystyle{R\rightarrow \infty}$

$3$\displaystyle{ R=\infty }$

となる．

■インターラクティブなグラフ

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最終更新日： 2022年12月7日