$3$\displaystyle{{e}^{x}}$ のマクローリン展開

$3$\displaystyle{{e}^{x}=1+x+\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} 2! \hspace{2}}{x}^{2}+\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} 3! \hspace{2}}{x}^{3}+\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} 4! \hspace{2}}{x}^{4}}$ $3$\displaystyle{+\cdots }$

■導出

$3$\displaystyle{f $x$ ={e}^{x}}$ とおく．　　 $3$\displaystyle{f $0$ ={e}^{0}=1}$

$3$\displaystyle{{f}^{\prime } $x$ ={e}^{x}}$ ， $3$\displaystyle{{f}^{\prime } $0$ ={e}^{0}=1}$

$3$\displaystyle{ {f}^{\prime\prime }\left({x}\right)={e}^{x} }$ ， $3$\displaystyle{{f}^{\prime\prime } $0$ ={e}^{0}=1}$

$3$\displaystyle{ {f}^{\prime\prime\prime }\left({x}\right)={e}^{x} }$ ， $3$\displaystyle{{f}^{\prime\prime\prime } $0$ ={e}^{0}=1}$

$3$\displaystyle{ {f}^{ \left({4}\right) }\left({x}\right)={e}^{x} }$ ， $3$\displaystyle{{f}^{ \left({4}\right) } $0$ ={e}^{0}=1}$

$3$\displaystyle{{f}^{ \left({5}\right) } $x$ ={e}^{x}}$ ， $3$\displaystyle{{f}^{ \left({5}\right) } $0$ ={e}^{0}=1}$

したがって，マクローリン展開の公式

$3$\displaystyle{f $x$ =f $0$ +{f}^{\prime } $0$ x+\frac{\hspace{2} {f}^{\prime\prime } $0$ \hspace{2}}{\hspace{2} 2! \hspace{2}}{x}^{2}}$ $3$\displaystyle{+\frac{\hspace{2} {f}^{\prime\prime\prime } $0$ \hspace{2}}{\hspace{2} 3! \hspace{2}}{x}^{3}}$ $3$\displaystyle{+\cdots \cdots }$ $3$\displaystyle{+\frac{\hspace{2} {f}^{ \left({n}\right) } $0$ \hspace{2}}{\hspace{2} n! \hspace{2}}{x}^{n}}$ $3$\displaystyle{+\cdots \cdots }$

に代入して

$3$\displaystyle{{e}^{x}=1+1\cdot x+\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} 2! \hspace{2}}{x}^{2}+\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} 3! \hspace{2}}{x}^{3}+\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} 4! \hspace{2}}{x}^{4}}$ $3$\displaystyle{+\cdots }$

$3$\displaystyle{=1+x+\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} 2! \hspace{2}}{x}^{2}+\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} 3! \hspace{2}}{x}^{3}+\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} 4! \hspace{2}}{x}^{4}+\cdots }$

■収束半径

$3$\displaystyle{\hspace{1}{a}_{n}=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} n! \hspace{2}}}$ ， $3$\displaystyle{\hspace{1}{a}_{ n+1 }=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} $ n+1 $ ! \hspace{2}}}$

$3$\displaystyle{{ \lim }\limits_{ n\rightarrow \infty } \| \frac{\hspace{2} \hspace{1}{a}_{ n+1 } \hspace{2}}{\hspace{2} \hspace{1}{a}_{n} \hspace{2}} \| ={ \lim }\limits_{ n\rightarrow \infty } \| \frac{\hspace{2} \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} $ n+1 $ ! \hspace{2}} \hspace{2}}{\hspace{2} \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} n! \hspace{2}} \hspace{2}} \| }$ $3$\displaystyle{={ \lim }\limits_{ n\rightarrow \infty } \| \frac{\hspace{2} n! \hspace{2}}{\hspace{2} $ n+1 $ ! \hspace{2}} \| }$ $3$\displaystyle{={ \lim }\limits_{ n\rightarrow \infty } \| \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} n+1 \hspace{2}} \| =0}$

よって，収束半径 $3$\displaystyle{R}$ $3$\displaystyle{ $ R=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}{\alpha}\hspace{2}} $ }$ は $3$\displaystyle{{\alpha}\rightarrow 0}$ より $3$\displaystyle{R\rightarrow \infty}$

$3$\displaystyle{ R=\infty }$

となる．

■インターラクティブなグラフ

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最終更新日： 2025年7月1日