級数の収束性（１）

$3$\displaystyle{\hspace{1}{a}_{n}> 0}$ である正項級数 $3$\displaystyle{\sum \hspace{1}{a}_{n} }$ において　

$3$\displaystyle{{ \lim }\limits_{ n\rightarrow \infty }\sqrt[n]{ \hspace{1}{a}_{n} }=r}$ ･･････(1)

が存在するとき

$3$\displaystyle{r< 1}$ ならば $3$\displaystyle{\sum \hspace{1}{a}_{n} }$ は収束する
$3$\displaystyle{r> 1}$ ならば $3$\displaystyle{\sum \hspace{1}{a}_{n} }$ は発散する

■証明

$3$\displaystyle{\lim\sqrt[n]{ \hspace{1}{a}_{n} }=r}$ が存在する場合，ある $3$\displaystyle{N}$ を越えると，すなわち $3$\displaystyle{n> N}$ では

$3$\displaystyle{r- {\varepsilon}< \sqrt[n]{ \hspace{1}{a}_{n} }< r+{\varepsilon}}$ ･･････(2) （ $3$\displaystyle{{\varepsilon}}$ は正の任意定数）

が成り立つ．

$3$\displaystyle{N}$ を用いると

$3$\displaystyle{{\sum }\limits_{ n=1 }^{\infty} \hspace{1}{a}_{n} ={\sum }\limits_{ n=1 }^{N} \hspace{1}{a}_{n} +{\sum }\limits_{ n=N+1 }^{\infty} \hspace{1}{a}_{n} }$ ･･････(3)

と書きかえられる．

$3$\displaystyle{N}$ はある自然数であるので

$3$\displaystyle{{\sum }\limits_{ n=1 }^{N} \hspace{1}{a}_{n} =K}$

となる定数 $3$\displaystyle{K}$ が存在する．

(2)より

$3$\displaystyle{{ $ r- {\varepsilon} $ }^{n}< \hspace{1}{a}_{n}< { $ r+{\varepsilon} $ }^{n}}$ ･･････(4)

よって

$3$\displaystyle{{\sum }\limits_{ n=N+1 }^{\infty} { $ r- {\varepsilon} $ }^{n} < {\sum }\limits_{ n=N+1 }^{\infty} \hspace{1}{a}_{n} < {\sum }\limits_{ n=N+1 }^{\infty} { $ r+{\varepsilon} $ }^{n} }$

$3$\displaystyle{n- N=m}$ とおくと， $3$\displaystyle{n=N+1}$ のとき $3$\displaystyle{m=1}$ ， $3$\displaystyle{n\rightarrow \infty}$ のとき $3$\displaystyle{m\rightarrow \infty}$

よって

$3$\displaystyle{{\sum }\limits_{ m=1 }^{\infty} { $ r- {\varepsilon} $ }^{m} < {\sum }\limits_{ n=N+1 }^{\infty} \hspace{1}{a}_{n} < {\sum }\limits_{ m=1 }^{\infty} { $ r+{\varepsilon} $ }^{m} }$

$3$\displaystyle{{ \lim }\limits_{ m\rightarrow \infty } $ r- {\varepsilon} $ \frac{\hspace{2} 1- { $ r- {\varepsilon} $ }^{m} \hspace{2}}{\hspace{2} 1- $ r- {\varepsilon} $ \hspace{2}}< {\sum }\limits_{ n=N+1 }^{\infty} \hspace{1}{a}_{n} < { \lim }\limits_{ m\rightarrow \infty } $ r+{\varepsilon} $ \frac{\hspace{2} 1- { $ r+{\varepsilon} $ }^{m} \hspace{2}}{\hspace{2} 1- $ r+{\varepsilon} $ \hspace{2}}}$ ･･････(5)

となる．

$3$\displaystyle{0< r< 1}$ のとき， $3$\displaystyle{{\varepsilon}}$ は任意なので， $3$\displaystyle{0< r- {\varepsilon}< r< r+{\varepsilon}< 1}$ となる $3$\displaystyle{{\varepsilon}}$ をとることができる．

よって(5)より

$3$\displaystyle{\frac{\hspace{2} r- {\varepsilon} \hspace{2}}{\hspace{2} 1- $ r- {\varepsilon} $ \hspace{2}}< {\sum }\limits_{ n=N+1 }^{\infty} \hspace{1}{a}_{n} < \frac{\hspace{2} r+{\varepsilon} \hspace{2}}{\hspace{2} 1- $ r+{\varepsilon} $ \hspace{2}}}$

となり

$3$\displaystyle{{\sum }\limits_{ n=N+1 }^{\infty} \hspace{1}{a}_{n} =L}$ ･･････(6)

となる定数 $3$\displaystyle{L}$ が存在する

したがって（3)(5)(6)より

$3$\displaystyle{{\sum }\limits_{ n=1 }^{\infty} \hspace{1}{a}_{n} =K+L}$

$3$\displaystyle{1< r}$ のとき， $3$\displaystyle{{\varepsilon}}$ は任意なので $3$\displaystyle{1< r- {\varepsilon}< r}$ となる $3$\displaystyle{{\varepsilon}}$ をとることができる

$3$\displaystyle{r- {\varepsilon}> 1}$ のとき $3$\displaystyle{m\rightarrow \infty}$ ならば， $3$\displaystyle{{ $ r- {\varepsilon} $ }^{m}\rightarrow \infty}$ となるので

となり

$3$\displaystyle{{\sum }\limits_{ n=N+1 }^{\infty} \hspace{1}{a}_{n} =\infty}$ ･･････(7)

となる．

したがって(3)(5)(7)より

$3$\displaystyle{{\sum }\limits_{ n=1 }^{\infty} \hspace{1}{a}_{n} =\infty}$

となり発散する．

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最終更新日： 2022年5月29日