級数の収束性（１）

$3$\displaystyle{\hspace{1}{a}_{n}> 0}$ である正項級数 $3$\displaystyle{\sum \hspace{1}{a}_{n} }$ において

$3$\displaystyle{{ \lim }\limits_{ n\rightarrow \infty }\sqrt[n]{ \hspace{1}{a}_{n} }=r}$ ･･････(1)

が存在するとき

$3$\displaystyle{r< 1}$ ならば $3$\displaystyle{\sum \hspace{1}{a}_{n} }$ は収束する
$3$\displaystyle{r> 1}$ ならば $3$\displaystyle{\sum \hspace{1}{a}_{n} }$ は発散する

■証明

$3$\displaystyle{{ \lim }\limits_{ n\rightarrow \infty }\sqrt[n]{ \hspace{1}{a}_{n} }=r}$ が存在するので，任意の正の $3$\displaystyle{{\varepsilon}}$ に対して，ある $3$\displaystyle{N}$ が存在し， $3$n> N$ では

$3$\displaystyle{r- {\varepsilon}< \sqrt[n]{ \hspace{1}{a}_{n} }< r+{\varepsilon}}$ ･･････(2)

が成り立つ．

$3$\displaystyle{N}$ を用いると

$3$\displaystyle{{\sum }\limits_{ n=1 }^{\infty} \hspace{1}{a}_{n} ={\sum }\limits_{ n=1 }^{N} \hspace{1}{a}_{n} +{\sum }\limits_{ n=N+1 }^{\infty} \hspace{1}{a}_{n} }$ ･･････(3)

と書き換えられる．

$3$\displaystyle{N}$ はある自然数であるから

$3$\displaystyle{{\sum }\limits_{ n=1 }^{N} \hspace{1}{a}_{n} =K}$ ･･････(4)

となる定数 $3$\displaystyle{K}$ が存在する．

$3$\displaystyle{\hspace{1}{S}_{M}=\hspace{1}{a}_{ N+1 }+\hspace{1}{a}_{ N+2 }+\hspace{1}{a}_{ N+3 }+\cdots +\hspace{1}{a}_{M}={\displaystyle{\sum }}\limits_{ n=N+1 }^{M}\hspace{1}{a}_{n}}$ ･･････(5)

とおくと

$3$\displaystyle{{\displaystyle{\sum }}\limits_{ n=N+1 }^{\infty}\hspace{1}{a}_{n}={ \lim }\limits_{ M\rightarrow \infty }{\displaystyle{\sum }}\limits_{ n=N+1 }^{M}\hspace{1}{a}_{n}}$ ･･････(6)

と表せる．

$3$\hspace{1}{a}_{n}> 0$ より， $3$\hspace{1}{S}_{M}$ は単調増加する．

$3$\hspace{1}{S}_{M}$ について検討する．

● $3$\displaystyle{r< 1}$ のとき

正項級数なので， $3$\hspace{1}{a}_{n}> 0$ より， $3$\sqrt[n]{ \hspace{1}{a}_{n} }> 0$ である．よって， $3$\displaystyle{{ \lim }\limits_{ n\rightarrow \infty }\sqrt[n]{ \hspace{1}{a}_{n} }=r\geq 0}$ となる．

したがって， $3$\displaystyle{0< {\varepsilon}< 1- r}$ となる $3$\displaystyle{{\varepsilon}}$ を取れば， $3$\displaystyle{0< r+{\varepsilon}< 1}$ となる．

(2)より

$3$\displaystyle{\sqrt[n]{ \hspace{1}{a}_{n} }< r+{\varepsilon}}$

$3$\displaystyle{\hspace{1}{a}_{n}< { $ r+{\varepsilon} $ }^{n}}$ ･･････(7)

よって

$3$\displaystyle{{\displaystyle{\sum }}\limits_{ n=N+1 }^{M}\hspace{1}{a}_{n}< {\displaystyle{\sum }}\limits_{ n=N+1 }^{M}{\left({ r+{\varepsilon} }\right)}^{n}}$ ･･････(8)

(5)を用いると

$3$\displaystyle{\hspace{1}{S}_{M}< {\displaystyle{\sum }}\limits_{ n=N+1 }^{M}{\left({ r+{\varepsilon} }\right)}^{n}}$ ･･････(9)

と書き換えられる．

$3$\displaystyle{{\displaystyle{\sum }}\limits_{ n=N+1 }^{M}{\left({ r+{\varepsilon} }\right)}^{n}}$ $3$\displaystyle{={\left({ r+{\varepsilon} }\right)}^{ N+1 }+{\left({ r+{\varepsilon} }\right)}^{ N+2 }+\cdots +{\left({ r+{\varepsilon} }\right)}^{M}}$

初項は $3$\displaystyle{{\left({ r+{\varepsilon} }\right)}^{ N+1 }}$ ，公比は $3$\displaystyle{\left({ r+{\varepsilon} }\right)}$ ， $3$\displaystyle{{\left({ r+{\varepsilon} }\right)}^{M}}$ は第 $3$\displaystyle{M- N}$ 項である．等比数列の和より

$3$\displaystyle{={\left({ r+{\varepsilon} }\right)}^{ N+1 }\cdot \frac{\hspace{2} 1- { \left({ r+{\varepsilon} }\right) }^{ M- N } \hspace{2}}{\hspace{2} 1- \left({ r+{\varepsilon} }\right) \hspace{2}}}$ ･･････(10)

よって，(9)は

$3$\displaystyle{\hspace{1}{S}_{M}< {\left({ r+{\varepsilon} }\right)}^{ N+1 }\cdot \frac{\hspace{2} 1- { \left({ r+{\varepsilon} }\right) }^{ M- N } \hspace{2}}{\hspace{2} 1- \left({ r+{\varepsilon} }\right) \hspace{2}}}$ ･･････(11)

となる．

$3$\displaystyle{\hspace{1}{a}_{n}> 0}$ と(11)より

$3$\displaystyle{0< \hspace{1}{S}_{M}< {\left({ r+{\varepsilon} }\right)}^{ N+1 }\cdot \frac{\hspace{2} 1- { \left({ r+{\varepsilon} }\right) }^{ M- N } \hspace{2}}{\hspace{2} 1- \left({ r+{\varepsilon} }\right) \hspace{2}}}$ ･･････(12)

となり

$3$\displaystyle{0< r+{\varepsilon}< 1}$ のとき， $3$\displaystyle{M\rightarrow \infty}$ ならば， $3$\displaystyle{{\left({ r+{\varepsilon} }\right)}^{ M- N }\rightarrow 0}$ となる．よって

$3$\displaystyle{{ \lim }\limits_{ M\rightarrow \infty }{\left({ r+{\varepsilon} }\right)}^{ N+1 }\cdot \frac{\hspace{2} 1- { \left({ r+{\varepsilon} }\right) }^{ M- N } \hspace{2}}{\hspace{2} 1- \left({ r+{\varepsilon} }\right) \hspace{2}}}$ $3$\displaystyle{=\frac{\hspace{2} { \left({ r+{\varepsilon} }\right) }^{ N+1 } \hspace{2}}{\hspace{2} 1- \left({ r+{\varepsilon} }\right) \hspace{2}}}$ ･･････(13)

となる． $3$\displaystyle{\hspace{1}{S}_{M}}$ は単調増加で，かつ，(12)，(13)より上に有界である．よって

$3$\displaystyle{{ \lim }\limits_{ M\rightarrow \infty }\hspace{1}{S}_{M}=L}$ ･･････(14)

となる有限な正の定数 $3$\displaystyle{L}$ が存在する．

したがって（3)，(4)，(6)，(14)より

$3$\displaystyle{{\displaystyle{\sum }}\limits_{ n=1 }^{\infty}\hspace{1}{a}_{n}=K+L}$ ･･････(15)

となり，収束する．

● $3$\displaystyle{1< r}$ のとき

$3$\displaystyle{0< {\varepsilon}< r- 1}$ となる $3$\displaystyle{{\varepsilon}}$ をとると， $3$\displaystyle{1< r- {\varepsilon}< r}$ となる

(2)より

$3$\displaystyle{r- {\varepsilon}< \sqrt[n]{ \hspace{1}{a}_{n} }}$

$3$\displaystyle{{\left({ r- {\varepsilon} }\right)}^{n}< \hspace{1}{a}_{n}}$ ･･････(16)

よって

$3$\displaystyle{{\sum }\limits_{ n=N+1 }^{M}{\left({ r- {\varepsilon} }\right)}^{n}< {\sum }\limits_{ n=N+1 }^{M}\hspace{1}{a}_{n}}$ ･･････(17)

(5)を用いると

$3$\displaystyle{{\sum }\limits_{ n=N+1 }^{M}{\left({ r- {\varepsilon} }\right)}^{n}< \hspace{1}{S}_{M}}$ ･･････(18)

と書き換えられる．

$3$\displaystyle{{\displaystyle{\sum }}\limits_{ n=N+1 }^{M}{\left({ r- {\varepsilon} }\right)}^{n}}$ $3$\displaystyle{={\left({ r- {\varepsilon} }\right)}^{ N+1 }+{\left({ r- {\varepsilon} }\right)}^{ N+2 }+\cdots +{\left({ r- {\varepsilon} }\right)}^{M}}$

初項は $3$\displaystyle{ { \left({ r- {\varepsilon} }\right) }^{ N+1 } }$ ，公比は $3$\displaystyle{\left({ r- {\varepsilon} }\right)}$ ， $3$\displaystyle{{\left({ r- {\varepsilon} }\right)}^{M}}$ は第 $3$\displaystyle{M- N}$ 項である．等比数列の和より

(18)より

$3$\displaystyle{{\left({ r- {\varepsilon} }\right)}^{ N+1 }\cdot \frac{\hspace{2} 1- { \left({ r- {\varepsilon} }\right) }^{ M- N } \hspace{2}}{\hspace{2} 1- \left({ r- {\varepsilon} }\right) \hspace{2}}< \hspace{1}{S}_{M}}$ ･･････(19)

$3$\displaystyle{1< r- {\varepsilon}< r}$ のとき， $3$\displaystyle{M\rightarrow \infty}$ ならば， $3$\displaystyle{{\left({ r- {\varepsilon} }\right)}^{ M- N }\rightarrow \infty}$ ，また， $3$\displaystyle{1- \left({ r- {\varepsilon} }\right)< 0}$ となるので

$3$\displaystyle{{ \lim }\limits_{ M\rightarrow \infty }{\left({ r- {\varepsilon} }\right)}^{ N+1 }\cdot \frac{\hspace{2} 1- { \left({ r- {\varepsilon} }\right) }^{ M- N } \hspace{2}}{\hspace{2} 1- \left({ r- {\varepsilon} }\right) \hspace{2}}=\infty}$ ･･････(20)

となり

$3$\displaystyle{{ \lim }\limits_{ M\rightarrow \infty }\hspace{1}{S}_{M}=\infty}$ ･･････(21)

となる．

したがって(3)，(4)，(6)，(21)より

$3$\displaystyle{{\displaystyle{\sum }}\limits_{ n=1 }^{\infty}\hspace{1}{a}_{n}=K+{ \lim }\limits_{ M\rightarrow \infty }\hspace{1}{S}_{M}=\infty}$ ･･････(22)

となり発散する．

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最終更新日： 2026年5月22日

級数の収束性（１）

■証明

● のとき

● のとき

● $3$\displaystyle{r< 1}$ のとき

● $3$\displaystyle{1< r}$ のとき