級数の収束性（２）

$3$\displaystyle{\hspace{1}{a}_{n}> 0}$ である正項級数 $3$\displaystyle{\sum \hspace{1}{a}_{n} }$ において　

$3$\displaystyle{ { \lim }\limits_{ n\rightarrow \infty } \frac{\hspace{2} \hspace{1}{a}_{ n+1 } \hspace{2}}{\hspace{2} \hspace{1}{a}_{n} \hspace{2}}=r }$ ･･････(1)

が存在するとき

$3$\displaystyle{0< r< 1}$ ならば $3$\displaystyle{{\sum }\limits_{ n=1 }^{\infty} \hspace{1}{a}_{n} }$ は収束する
$3$\displaystyle{r> 1}$ ならば $3$\displaystyle{{\sum }\limits_{ n=1 }^{\infty} \hspace{1}{a}_{n} }$ は発散する

■証明

$3$\displaystyle{ { \lim }\limits_{ n\rightarrow \infty } \frac{\hspace{2} \hspace{1}{a}_{ n+1 } \hspace{2}}{\hspace{2} \hspace{1}{a}_{n} \hspace{2}}=r}$ が存在するので，任意の正の $3$\displaystyle{{\varepsilon}}$ に対して，ある $3$\displaystyle{N}$ が存在し， $3$n> N$ では

$3$\displaystyle{r- {\varepsilon}< \frac{\hspace{2} \hspace{1}{a}_{ n+1 } \hspace{2}}{\hspace{2} \hspace{1}{a}_{n} \hspace{2}}< r+{\varepsilon}}$ ･･････(2)

が成り立つ．

$3$\displaystyle{N}$ を用いると

$3$\displaystyle{{\sum }\limits_{ n=1 }^{\infty} \hspace{1}{a}_{n} ={\sum }\limits_{ n=1 }^{N} \hspace{1}{a}_{n} +{\sum }\limits_{ n=N+1 }^{\infty} \hspace{1}{a}_{n} }$ ･･････(3)

と書きかえられる．

$3$\displaystyle{N}$ はある自然数であるので

$3$\displaystyle{{\sum }\limits_{ n=1 }^{N} \hspace{1}{a}_{n} =K}$ ･･････(4)

となる定数 $3$\displaystyle{K}$ が存在する．

$3$\displaystyle{\hspace{1}{S}_{M}=\hspace{1}{a}_{ N+1 }+\hspace{1}{a}_{ N+2 }+\hspace{1}{a}_{ N+3 }+\cdots +\hspace{1}{a}_{M}={\displaystyle{\sum }}\limits_{ n=N+1 }^{M}\hspace{1}{a}_{n}}$ ･･････(5)

とおくと

$3$\displaystyle{{\displaystyle{\sum }}\limits_{ n=N+1 }^{\infty}\hspace{1}{a}_{n}={ \lim }\limits_{ M\rightarrow \infty }{\displaystyle{\sum }}\limits_{ n=N+1 }^{M}\hspace{1}{a}_{n}}$ ･･････(6)

と表せる．

$3$\hspace{1}{a}_{n}> 0$ より， $3$\hspace{1}{S}_{M}$ は単調増加する．

$3$\hspace{1}{S}_{M}$ について検討する．

● $3$\displaystyle{0< r< 1}$ のとき

$3$\displaystyle{0< {\varepsilon}< 1- r}$ となる $3$\displaystyle{{\varepsilon}}$ を取れば， $3$\displaystyle{0< r+{\varepsilon}< 1}$ となる．

(2)より

$3$\displaystyle{ \frac{\hspace{2} \hspace{1}{a}_{ N+2 } \hspace{2}}{\hspace{2} \hspace{1}{a}_{ N+1 } \hspace{2}}< r+{\varepsilon} }$ ･･････(7)

よって

$3$\displaystyle{ \hspace{1}{a}_{ N+2 }< \hspace{1}{a}_{ N+1 }\left({ r+{\varepsilon} }\right) }$ ･･････(8)

となる．

(2)より

$3$\displaystyle{\frac{\hspace{2} \hspace{1}{a}_{ N+3 } \hspace{2}}{\hspace{2} \hspace{1}{a}_{ N+2 } \hspace{2}}< r+{\varepsilon}}$ ･･････(9)

(8)と(9)より

$3$\displaystyle{\hspace{1}{a}_{ N+2 }\cdot \frac{\hspace{2} \hspace{1}{a}_{ N+3 } \hspace{2}}{\hspace{2} \hspace{1}{a}_{ N+2 } \hspace{2}}< \hspace{1}{a}_{ N+1 }{\left({ r+{\varepsilon} }\right)}^{2}}$ ･･････(10)

よって

$3$\displaystyle{\hspace{1}{a}_{ N+3 }< \hspace{1}{a}_{ N+1 }{ $ r+{\varepsilon} $ }^{2}}$ ･･････(11)

となる．

$3$\displaystyle{\vdots }$

同様にして

$3$\displaystyle{\hspace{1}{a}_{k}< \hspace{1}{a}_{ N+1 }{ $ r+{\varepsilon} $ }^{ k- N- 1 }}$ ･･････(12)

となる．

とおく．(5)と(8)，(11)，(12)より

$3$\displaystyle{\hspace{1}{S}_{M}< {\sum }\limits_{ n=N+1 }^{M}\hspace{1}{a}_{ N+1 }{\left({ r+{\varepsilon} }\right)}^{ n- N- 1 }}$ ･･････(13)

となる．

$3$\displaystyle{{\displaystyle{\sum }}\limits_{ n=N+1 }^{M}\hspace{1}{a}_{ N+1 }{\left({ r- {\varepsilon} }\right)}^{ n- N- 1 }}$ $3$\displaystyle{=\hspace{1}{a}_{ N+1 }+\hspace{1}{a}_{ N+1 }\left({ r- {\varepsilon} }\right)+\hspace{1}{a}_{ N+1 }{\left({ r- {\varepsilon} }\right)}^{2}+\cdots +\hspace{1}{a}_{ N+1 }{\left({ r- {\varepsilon} }\right)}^{ M- N- 1 }}$

等比数列の和より

$3$\displaystyle{=\hspace{1}{a}_{ N+1 }\cdot \frac{\hspace{2} 1- { \left({ r- {\varepsilon} }\right) }^{ M- N } \hspace{2}}{\hspace{2} 1- \left({ r- {\varepsilon} }\right) \hspace{2}}}$ ･･････(14)

(13）に(14)を代入すると

$3$\displaystyle{\hspace{1}{S}_{M}< \hspace{1}{a}_{ N+1 }\cdot \frac{\hspace{2} 1- { \left({ r- {\varepsilon} }\right) }^{ M- N } \hspace{2}}{\hspace{2} 1- \left({ r- {\varepsilon} }\right) \hspace{2}}}$ ･･････(15)

$3$\displaystyle{0< r+{\varepsilon}< 1}$ より， $3$M\rightarrow \infty$ のとき， $3${\left({ r+{\varepsilon} }\right)}^{ M- N }\rightarrow 0$ となる．よって

$3$\displaystyle{{ \lim }\limits_{ M\rightarrow \infty }\hspace{1}{a}_{ N+1 }\cdot \frac{\hspace{2} 1- { \left({ r+{\varepsilon} }\right) }^{ M- N } \hspace{2}}{\hspace{2} 1- \left({ r+{\varepsilon} }\right) \hspace{2}}=\hspace{1}{a}_{ N+1 }\cdot \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} 1- \left({ r+{\varepsilon} }\right) \hspace{2}}}$ ･･････(16)

となる． $3$\displaystyle{\hspace{1}{S}_{M}}$ は単調増加で，かつ， $3$\displaystyle{\hspace{1}{S}_{M}}$ は(16)より上に有界である．よって

$3$\displaystyle{{ \lim }\limits_{ M\rightarrow \infty }\hspace{1}{S}_{M}=L}$ ･･････(17)

となる正の定数 $3$\displaystyle{L}$ が存在する．

したがって（3)，(4)，(6)，(17)より

$3$\displaystyle{{\displaystyle{\sum }}\limits_{ n=1 }^{\infty}\hspace{1}{a}_{n}=K+L}$ ･･････(18)

となり，収束する．

● $3$\displaystyle{1< r}$ のとき

$3$\displaystyle{0< {\varepsilon}< r- 1}$ となる $3$\displaystyle{{\varepsilon}}$ をとると， $3$\displaystyle{1< r- {\varepsilon}< r}$ となる

(2)より

$3$\displaystyle{\displaystyle{r- {\varepsilon}< \frac{\hspace{2} \hspace{1}{a}_{ N+2 } \hspace{2}}{\hspace{2} \hspace{1}{a}_{ N+1 } \hspace{2}}}}$ ･･････(19)

よって

$3$\displaystyle{\hspace{1}{a}_{ N+1 }\left({ r- {\varepsilon} }\right)< \hspace{1}{a}_{ N+2 }}$ ･･････(20)

となる．

(2)より

$3$\displaystyle{r- {\varepsilon}< \frac{\hspace{2} \hspace{1}{a}_{ N+3 } \hspace{2}}{\hspace{2} \hspace{1}{a}_{ N+2 } \hspace{2}}}$ ･･････(21)

(20)と(21)より

$3$\displaystyle{\hspace{1}{a}_{ N+1 }{\left({ r- {\varepsilon} }\right)}^{2}< \hspace{1}{a}_{ N+2 }\cdot \frac{\hspace{2} \hspace{1}{a}_{ N+3 } \hspace{2}}{\hspace{2} \hspace{1}{a}_{ N+2 } \hspace{2}}}$ ･･････(22)

よって

$3$\displaystyle{\hspace{1}{a}_{ N+1 }{\left({ r- {\varepsilon} }\right)}^{2}< \hspace{1}{a}_{ N+3 }}$ ･･････(23)

となる．

$3$\displaystyle{\vdots }$

同様にして

$3$\displaystyle{\hspace{1}{a}_{ N+1 }{\left({ r- {\varepsilon} }\right)}^{ k- N- 1 }< \hspace{1}{a}_{k}}$ ･･････(24)

となる．

とおく．(5)と(20)，(23)，(24)より

$3$\displaystyle{{\displaystyle{\sum }}\limits_{ n=N+1 }^{M}\hspace{1}{a}_{ N+1 }{\left({ r- {\varepsilon} }\right)}^{ n- N- 1 }< \hspace{1}{S}_{M}}$ ･･････(25)

となる．

等比数列の和より

(25)に(26)を代入する．

$3$\displaystyle{\hspace{1}{a}_{ N+1 }\cdot \frac{\hspace{2} 1- { \left({ r- {\varepsilon} }\right) }^{ M- N } \hspace{2}}{\hspace{2} 1- \left({ r- {\varepsilon} }\right) \hspace{2}}< \hspace{1}{S}_{M}}$ ･･････(27)

$3$\displaystyle{1< r- {\varepsilon}< r}$ のとき， $3$\displaystyle{M\rightarrow \infty}$ ならば， $3$\displaystyle{{\left({ r- {\varepsilon} }\right)}^{ M- N }\rightarrow \infty}$ ，また， $3$\displaystyle{1- \left({ r- {\varepsilon} }\right)< 0}$ となるので

$3$\displaystyle{{ \lim }\limits_{ M\rightarrow \infty }\hspace{1}{a}_{ N+1 }\cdot \frac{\hspace{2} 1- { \left({ r- {\varepsilon} }\right) }^{ M- N } \hspace{2}}{\hspace{2} 1- \left({ r- {\varepsilon} }\right) \hspace{2}}=\infty}$ ･･････(28)

となり

$3$\displaystyle{{ \lim }\limits_{ M\rightarrow \infty }\hspace{1}{S}_{M}=\infty}$ ･･････(29)

となる．

したがって(3)，(4)，(6)，(29)より

$3$\displaystyle{{\displaystyle{\sum }}\limits_{ n=1 }^{\infty}\hspace{1}{a}_{n}=K+{ \lim }\limits_{ M\rightarrow \infty }\hspace{1}{S}_{M}=\infty}$ ･･････(30)

となり発散する．

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最終更新日： 2026年5月23日

級数の収束性（２）

■証明

● のとき

● のとき

● $3$\displaystyle{0< r< 1}$ のとき

● $3$\displaystyle{1< r}$ のとき