級数の収束性（２）

$3$\displaystyle{\hspace{1}{a}_{n}> 0}$ である正項級数 $3$\displaystyle{\sum \hspace{1}{a}_{n} }$ において　

$3$\displaystyle{ { \lim }\limits_{ n\rightarrow \infty } \frac{\hspace{2} \hspace{1}{a}_{ n+1 } \hspace{2}}{\hspace{2} \hspace{1}{a}_{n} \hspace{2}}=r }$ ･･････(1)

が存在するとき

$3$\displaystyle{0< r< 1}$ ならば $3$\displaystyle{{\sum }\limits_{ n=1 }^{\infty} \hspace{1}{a}_{n} }$ は収束する
$3$\displaystyle{r> 1}$ ならば $3$\displaystyle{{\sum }\limits_{ n=1 }^{\infty} \hspace{1}{a}_{n} }$ は発散する

■証明

$3$\displaystyle{ { \lim }\limits_{ n\rightarrow \infty } \frac{\hspace{2} \hspace{1}{a}_{ n+1 } \hspace{2}}{\hspace{2} \hspace{1}{a}_{n} \hspace{2}}=r}$ が存在する場合，ある $3$\displaystyle{N}$ を越えると，すなわち $3$\displaystyle{n> N}$ では

$3$\displaystyle{r- {\varepsilon}< \frac{\hspace{2} \hspace{1}{a}_{ n+1 } \hspace{2}}{\hspace{2} \hspace{1}{a}_{n} \hspace{2}}< r+{\varepsilon}}$ ･･････(2) （ $3$\displaystyle{{\varepsilon}}$ は正の任意定数）

が成り立つ．

$3$\displaystyle{N}$ を用いると

$3$\displaystyle{{\sum }\limits_{ n=1 }^{\infty} \hspace{1}{a}_{n} ={\sum }\limits_{ n=1 }^{N} \hspace{1}{a}_{n} +{\sum }\limits_{ n=N+1 }^{\infty} \hspace{1}{a}_{n} }$ ･･････(3)

と書きかえられる．

$3$\displaystyle{N}$ はある自然数であるので

$3$\displaystyle{{\sum }\limits_{ n=1 }^{N} \hspace{1}{a}_{n} =K}$ ･･････(4)

となる定数 $3$\displaystyle{K}$ が存在する．

$3$\displaystyle{ \hspace{1}{a}_{ N+1 }=\hspace{1}{a}_{N}\cdot \frac{\hspace{2} \hspace{1}{a}_{ N+1 } \hspace{2}}{\hspace{2} \hspace{1}{a}_{N} \hspace{2}} }$

( $3$\displaystyle{r- {\varepsilon}< \hspace{1}{a}_{ N+1 }< r+{\varepsilon}}$ )

$3$\displaystyle{\hspace{1}{a}_{ N+2 }=\hspace{1}{a}_{ N+1 }\frac{\hspace{2} \hspace{1}{a}_{ N+2 } \hspace{2}}{\hspace{2} \hspace{1}{a}_{ N+1 } \hspace{2}}=\hspace{1}{a}_{N}\frac{\hspace{2} \hspace{1}{a}_{ N+1 } \hspace{2}}{\hspace{2} \hspace{1}{a}_{N} \hspace{2}}\cdot \frac{\hspace{2} \hspace{1}{a}_{ N+2 } \hspace{2}}{\hspace{2} \hspace{1}{a}_{ N+1 } \hspace{2}}}$

( $3$\displaystyle{\hspace{1}{a}_{N}{ $ r- {\varepsilon} $ }^{2}< \hspace{1}{a}_{ N+2 }< \hspace{1}{a}_{N}{ $ r+{\varepsilon} $ }^{2}}$ )

$3$\displaystyle{\vdots }$

$3$\displaystyle{ \hspace{1}{a}_{n}=\hspace{1}{a}_{N}\frac{\hspace{2} \hspace{1}{a}_{ N+1 } \hspace{2}}{\hspace{2} \hspace{1}{a}_{N} \hspace{2}}\cdot \frac{\hspace{2} \hspace{1}{a}_{ N+2 } \hspace{2}}{\hspace{2} \hspace{1}{a}_{ N+1 } \hspace{2}}\cdot \cdot \cdot \frac{\hspace{2} \hspace{1}{a}_{n} \hspace{2}}{\hspace{2} \hspace{1}{a}_{ n- 1 } \hspace{2}} }$

( $3$\displaystyle{\hspace{1}{a}_{N}{ $ r- {\varepsilon} $ }^{ n- N }< \hspace{1}{a}_{n}< \hspace{1}{a}_{N}{ $ r+{\varepsilon} $ }^{ n+N }}$ )

よって

$3$\displaystyle{{\sum }\limits_{ n=N+1 }^{\infty} \hspace{1}{a}_{N}{ $ r- {\varepsilon} $ }^{ n- N } < {\sum }\limits_{ n=N+1 }^{\infty} \hspace{1}{a}_{n} < {\sum }\limits_{ n=N+1 }^{\infty} \hspace{1}{a}_{N}{ $ r+{\varepsilon} $ }^{ n- N } }$

$3$\displaystyle{n- N=m}$ とおくと， $3$\displaystyle{n=N+1}$ のとき $3$\displaystyle{m=1}$ ， $3$\displaystyle{n\rightarrow \infty}$ のとき $3$\displaystyle{m\rightarrow \infty}$

よって

$3$\displaystyle{{\sum }\limits_{ m=1 }^{\infty} \hspace{1}{a}_{N}{ $ r- {\varepsilon} $ }^{m} < {\sum }\limits_{ n=N+1 }^{\infty} \hspace{1}{a}_{n} < {\sum }\limits_{ n=N+1 }^{\infty} \hspace{1}{a}_{N}{ $ r+{\varepsilon} $ }^{m} }$

$3$\displaystyle{{ \lim }\limits_{ m\rightarrow \infty }\hspace{1}{a}_{n} $ r- {\varepsilon} $ \frac{\hspace{2} 1- { $ r- {\varepsilon} $ }^{m} \hspace{2}}{\hspace{2} 1- $ r- {\varepsilon} $ \hspace{2}}< {\sum }\limits_{ n=N+1 }^{\infty} \hspace{1}{a}_{n} < { \lim }\limits_{ m\rightarrow \infty }\hspace{1}{a}_{n} $ r+{\varepsilon} $ \frac{\hspace{2} 1- { $ r+{\varepsilon} $ }^{m} \hspace{2}}{\hspace{2} 1- $ r+{\varepsilon} $ \hspace{2}}}$ ･･････(5)

となる．

$3$\displaystyle{0< r< 1}$ のとき， $3$\displaystyle{{\varepsilon}}$ は任意なので， $3$\displaystyle{0< r- {\varepsilon}< r< r+{\varepsilon}< 1}$ となる $3$\displaystyle{{\varepsilon}}$ をとることができる．

よって(5)より

$3$\displaystyle{\hspace{1}{a}_{N}\frac{\hspace{2} r- {\varepsilon} \hspace{2}}{\hspace{2} 1- $ r- {\varepsilon} $ \hspace{2}}< {\sum }\limits_{ n=N+1 }^{\infty} \hspace{1}{a}_{n} < \hspace{1}{a}_{N}\frac{\hspace{2} r+{\varepsilon} \hspace{2}}{\hspace{2} 1- $ r+{\varepsilon} $ \hspace{2}}}$

となり

$3$\displaystyle{{\sum }\limits_{ n=N+1 }^{\infty} \hspace{1}{a}_{n} =L}$ ･･････(6)

となる定数 $3$\displaystyle{L}$ が存在する．

したがって（3)(4)(6)より $3$\displaystyle{{\sum }\limits_{ n=1 }^{\infty} \hspace{1}{a}_{n} }$ は収束する．

$3$\displaystyle{1< r}$ のとき， $3$\displaystyle{{\varepsilon}}$ は任意なので $3$\displaystyle{1< r- {\varepsilon}< r}$ となる $3$\displaystyle{{\varepsilon}}$ をとることができる

$3$\displaystyle{r- {\varepsilon}> 1}$ のとき $3$\displaystyle{m\rightarrow \infty}$ ならば， $3$\displaystyle{{ $ r- {\varepsilon} $ }^{m}\rightarrow \infty}$ となるので

$3$\displaystyle{{ \lim }\limits_{ m\rightarrow \infty }\hspace{1}{a}_{N} $ r- {\varepsilon} $ \frac{\hspace{2} 1- { $ r- {\varepsilon} $ }^{m} \hspace{2}}{\hspace{2} 1- $ r- {\varepsilon} $ \hspace{2}}=\infty}$

となり

$3$\displaystyle{{\sum }\limits_{ n=N+1 }^{\infty} \hspace{1}{a}_{n} =\infty}$ ･･････(7)

となる．

したがって(3)(5)(7)より

$3$\displaystyle{{\sum }\limits_{ n=1 }^{\infty} \hspace{1}{a}_{n} =\infty}$

となり発散する．

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最終更新日： 2023年7月27日