曲げモーメントの計算

梁が図のように曲がったとき，灰色で示した梁の微少部分の右側断面に生じる曲げモーメント $3$\displaystyle{M}$ の値は，梁の曲率半径を $3$\displaystyle{R}$ ，断面2次モーメントを $3$\displaystyle{I}$ とすると

$3$\displaystyle{M=\frac{\hspace{2} EI \hspace{2}}{\hspace{2}R\hspace{2}}}$

で表される．

■導出

梁が曲がったときの応力分布は下の図のようになり，応力の値は

$3$\displaystyle{\hspace{1}{{\sigma}}_{x}=- \frac{\hspace{2}E\hspace{2}}{\hspace{2}R\hspace{2}}y}$

となる．曲げモーメントの値は $3$\displaystyle{z}$ 軸の回りの応力 $3$\displaystyle{\hspace{1}{{\sigma}}_{x}}$ による力のモーメントの総和になるので

$3$\displaystyle{M=- \displaystyle{ {\int\int }\limits_{A} y\hspace{1}{{\sigma}}_{x}dydz }}$ $3$\displaystyle{=- \displaystyle{ {\int\int }\limits_{A} y $ - \frac{\hspace{2}E\hspace{2}}{\hspace{2}R\hspace{2}}y $ dydz }}$ $3$\displaystyle{=\frac{\hspace{2}E\hspace{2}}{\hspace{2}R\hspace{2}}\displaystyle{ {\int\int }\limits_{A} {y}^{2}dydz }}$

ここで， $3$\displaystyle{\displaystyle{ {\int\int }\limits_{A} {y}^{2}dydz }}$ は断面2次モーメント $3$\displaystyle{I}$ のことなので

$3$\displaystyle{M=\frac{\hspace{2} EI \hspace{2}}{\hspace{2}R\hspace{2}}}$

となる．

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最終更新日2018年2月4日