$3$\displaystyle{{ }^{}{ }^{}{ }^{}{ }^{}{ }^{}{ }^{}{ }^{}{ $ { \cos }^{ - 1 }x $ }^{\prime }=- \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} \sqrt{ 1- {x}^{2} } \hspace{2}}}$

$3$\displaystyle{ y={ \cos }^{ - 1 }x }$ とすると，
$3$\displaystyle{ x={ \cos }^{}y }$ と書きかえられる。

更に， $3$\displaystyle{ \cos }$ を $3$\displaystyle{ \sin }$ に書きかえると
$3$\displaystyle{x=\cos y}$
　 $3$\displaystyle{=\sin $ \frac{\hspace{2}{\pi}\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}- y $ }$ となる。

$3$\displaystyle{ \sin - 1 }$ を用いて書き直すと，
$3$\displaystyle{ { \sin }^{ - 1 }x=\frac{\hspace{2}{\pi}\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}- y }$ となる。

$3$\displaystyle{ y={ \cos }^{ - 1 }x }$ であるので，
$3$\displaystyle{ { \sin }^{ - 1 }x=\frac{\hspace{2}{\pi}\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}- { \cos }^{ - 1 }x }$

よって，
$3$\displaystyle{ { \cos }^{ - 1 }x=- { \sin }^{ - 1 }x+\frac{\hspace{2}{\pi}\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}} }$

すなわち，
$3$\displaystyle{ \cos - 1 }x$ は $3$\displaystyle{ \sin - 1 }x$ で表すことができ，この関係より，

$3$\displaystyle{ {}_\bullet\limits{ }^\bullet {}_\bullet { $ { \cos }^{ - 1 }x $ }^{\prime } }$
　 $3$\displaystyle{ ={ $ { \sin }^{ - 1 }x+\frac{\hspace{2}{\pi}\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}} $ }^{\prime } }$
　 $3$\displaystyle{ =- \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} \sqrt{ 1- {x}^{2} } \hspace{2}} }$

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