$3$\displaystyle{\displaystyle{ \int _{ - a }^{a} f$x$dx=2\displaystyle{ \int _{0}^{a} f$x$dx } }}$

$3$\displaystyle{f$x$}$ は偶関数なので
　 $3$\displaystyle{f$x$=f$- x$}$
与式
$3$\displaystyle{=\displaystyle{ \int _{ - a }^{0} f$x$dx+\displaystyle{ \int _{0}^{a} f$x$dx } }}$
（定積分の公式より）
$3$\displaystyle{ =\int _{ - a }^{0} f $ - x $ dx+\int _{0}^{a} f $x$ dx }$
　 $3$\displaystyle{- x=t}$ とおくと
$3$\displaystyle{=\int _{a}^{0} f $t$ $ - dt $ +\int _{0}^{a} f $x$ dx }$
$3$=- \int _{a}^{0} f $t$ dt +\int _{0}^{a} f $x$ dx$
(定積分の公式より）
$3$\displaystyle{=\int _{0}^{a} f $t$ dt +\int _{0}^{a} f $x$ dx }$
　 $3$\displaystyle{t=x}$ とおくと
$3$\displaystyle{=\int _{0}^{a} f $x$ dx +\int _{0}^{a} f $x$ dx }$
$3$\displaystyle{=2\int _{0}^{a} f$x$dx }$