曲線の長さ

曲線 $3$\displaystyle{x=f $t$ }$ ， $3$\displaystyle{y=f $t$ }$ $3$\displaystyle{ $ {\alpha}\leq t\leq {\beta} $ }$ の長さ $3$s$ は，

　 $3$\displaystyle{\begin{array}{lll}s& =\int _{{\alpha}}^{{\beta}} \sqrt{ { $ \frac{\hspace{2} dx \hspace{2}}{\hspace{2} dt \hspace{2}} $ }^{2}+{ $ \frac{\hspace{2} dy \hspace{2}}{\hspace{2} dt \hspace{2}} $ }^{2} }dt & \vspace{6}\\ & =\int _{{\alpha}}^{{\beta}} \sqrt{ { \{ {f}^{\prime } $t$ \} }^{2}+{ \{ {g}^{\prime } $t$ \} }^{2} }dt & \vspace{6}\\ \end{array}}$

曲線 $3$\displaystyle{y=f $x$ }$ ， $3$\displaystyle{ $ a\leq t\leq b $ }$ の長さ $3$s$ は，

　 $3$\displaystyle{\begin{array}{lll}s& =\int _{a}^{b} \sqrt{ 1+{ $ \frac{\hspace{2} dy \hspace{2}}{\hspace{2} dx \hspace{2}} $ }^{2} }dx & \vspace{6}\\ & =\int _{a}^{b} \sqrt{ 1+{ \{ {f}^{\prime } $x$ \} }^{2} }dx & \vspace{6}\\ \end{array}}$

詳しくはPCサイト参照のこと。

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