楕円運動

回転運動の軌道が楕円の場合，その運動を楕円運動という．

点 O を楕円の中心として長半径 $3$\displaystyle{a}$ ，短半径 $3$\displaystyle{b}$ の楕円軌道上を運動している質点の位置 $3$\displaystyle{\mathbb{r}}$ は，

$3$\displaystyle{ \mathbb{r}=$x\text{\hspace{1}},\text{\hspace{1}}y$=$a\cos {\theta}\text{\hspace{1}},\text{\hspace{1}}b\sin {\theta}$ }$ - - - (1)

と表せる（ $3$\displaystyle{{\theta}={\theta}$t$}$ ：時刻 $3$\displaystyle{t}$ の関数）．図のように，角 $3$\displaystyle{{\theta}}$ は，位置ベクトル $3$\displaystyle{\mathbb{r}}$ の $3$\displaystyle{x}$ 軸から測った角 $3$\displaystyle{{\varphi}}$ とは異なる． $3$\displaystyle{{\varphi}}$ と $3$\displaystyle{{\theta}}$ の間には

$3$\displaystyle{ \tan {\varphi}=\frac{\hspace{2}y\hspace{2}}{\hspace{2}x\hspace{2}}=\frac{\hspace{2} b\sin {\theta} \hspace{2}}{\hspace{2} a\cos {\theta} \hspace{2}}=\frac{\hspace{2}b\hspace{2}}{\hspace{2}a\hspace{2}}\tan {\theta} }$ - - - (2)

の関係がある．

曲線の曲率半径から，角 $3$\displaystyle{{\theta}}$ のときの回転半径 $3$\displaystyle{R ${\theta}$ }$ は

$3$\displaystyle{ R ${\theta}$ =\frac{\hspace{2} { \{ s${\theta}$ \} }^{3} \hspace{2}}{\hspace{2} ab \hspace{2}} }$ ， $3$\displaystyle{ s ${\theta}$ =\sqrt{ { $a\sin {\theta}$ }^{2}+{ $b\cos {\theta}$ }^{2} } }$ - - - (3)

で，回転中心の位置 $3$\displaystyle{\mathbb{C} ${\theta}$ }$ は

$3$\displaystyle{ \displaystyle{C} ${\theta}$ = $ \frac{\hspace{2} {a}^{2}- { \{ s\({\theta}$ \} }^{2} \hspace{2}}{\hspace{2}a\hspace{2}}\cos {\theta}\text{\hspace{1}},\text{\hspace{1}}\frac{\hspace{2} {b}^{2}- { \{ s${\theta}$ \} }^{2} \hspace{2}}{\hspace{2}b\hspace{2}}\sin {\theta} \) }$ $3$\displaystyle{ = $ \frac{\hspace{2} {a}^{2}- {b}^{2} \hspace{2}}{\hspace{2}a\hspace{2}}{ \cos }^{3}{\theta}\text{\hspace{1}},\text{\hspace{1}}\frac{\hspace{2} {b}^{2}- {a}^{2} \hspace{2}}{\hspace{2}b\hspace{2}}{ \sin }^{3}{\theta} $ }$ - - - (4)

で与えられ，時々刻々変化する．

2つの惑星の間に中心力の一種である万有引力が作用し互いに束縛して運動する場合，運動する惑星の軌道は一般に楕円軌道となることが知られている．

ホーム>>カテゴリー分類>>力学>>運動>>回転運動>>楕円運動