符号関数

式(1)の符号関数のグラフ

実数 $3$\displaystyle{x}$ に対して

$3$\displaystyle{ sgn$x$=\left{{ \begin{array}1& $x> 0$ & \vspace{6}\\ 0& $x=0$ & \vspace{6}\\ - 1 & $x< 0$ & \vspace{6}\\ \end{array} }$ --- (1)

のように定義される関数 $3$\displaystyle{sgn$x$}$ を符号関数という．上式は $3$\displaystyle{x}$ を用いて以下のようにも表せる．

$3$\displaystyle{ sgn$x$=\left{{ \begin{array} \frac{\hspace{2}x\hspace{2}}{\hspace{2} \left|{x}\right| \hspace{2}} & $x\neq 0$ & \vspace{6}\\ 0& $x=0$ & \vspace{6}\\ \end{array} }$ --- (2)

式(3)の符号関数のグラフ

便宜上，次式のように定義される場合もある．

$3$\displaystyle{ sgn$x$=\left{{ \begin{array}1& $x\geq 0$ & \vspace{6}\\ - 1 & $x< 0$ & \vspace{6}\\ \end{array} }$ --- (3)

式(3)は以下のようにも表せる．

$3$\displaystyle{ sgn$x$=\left{{ \begin{array} \frac{\hspace{2}x\hspace{2}}{\hspace{2} \left|{x}\right| \hspace{2}} & $x\neq 0$ & \vspace{6}\\ 1& $x=0$ & \vspace{6}\\ \end{array} }$ --- (4)

ヘヴィサイドの階段関数 $3$\displaystyle{\hspace{1}{H}_{c}$x$}$ （ $3$\displaystyle{c}$ は $3$\displaystyle{x=0}$ のときの関数の値）を用いて表すと

式(1) ⇒ $3$\displaystyle{ sgn$x$=2\hspace{1}{H}_{ \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}} }$x$- 1 }$ --- (5)
式(3) ⇒ $3$\displaystyle{ sgn$x$=2\hspace{1}{H}_{1}$x$- 1 }$ --- (6)

となる．

＜置換に対する符号＞

線形代数における行列式の定義などで出てくる置換に対して符号関数が用いられることがあり，その場合，置換 $3$\displaystyle{{\sigma}}$ が偶置換か奇置換かによって，符号関数 $3$\displaystyle{sgn${\sigma}$}$ は以下のように定義される：

$3$\displaystyle{ sgn${\sigma}$=\left{{ \begin{array}1& ${\sigma}\text{ }\text{:\hspace{5}even}$ & \vspace{6}\\ - 1 & ${\sigma}\text{ }\text{:\hspace{5}odd}$ & \vspace{6}\\ \end{array} }$
TeXに変換設定していない数学記号や，特殊文字が含まれています。今後直していきます。
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