運動エネルギー

運動している物体がもつエネルギーを運動エネルギーという．運動エネルギーの大きさは，物体の質量が大きいほど，また，速さが大きいほど大きくなる．質量 $3$\displaystyle{m\[\text{kg}\]}$ の物体が，速さ $3$\displaystyle{v\[\text{m/s}\]}$ で運動しているとき，物体の運動エネルギー $3$\displaystyle{K\[\text{J}\]}$ は，次式で表される．

$3$\displaystyle{ K=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}m{v}^{2} }$

$運動エネルギー$

○ $3$\displaystyle{ K=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}m{v}^{2} }$ の導出

はじめ静止している質量 $3$\displaystyle{ m\[\text{kg}\] }$ の物体（初速 $3$\displaystyle{ \hspace{1}{v}_{0}=0 }$ ）に一定の力(大きさ $3$\displaystyle{ F\[\text{N}\] }$ ) を加えて $3$\displaystyle{x}$ 軸上を初期位置 $3$\displaystyle{\hspace{1}{x}_{0}=0}$ から $3$\displaystyle{ x\[\text{m}\] }$ まで移動させたとき，物体の速さが $3$\displaystyle{ v\[\text{m/s}\] }$ になったとする(下図)．このとき，物体の加速度は $3$\displaystyle{ a=F/m\[\text{m}/{\text{s}}^{2}\] }$ であるので，等加速度直線運動で成り立つ式 $3$\displaystyle{ {v}^{2}-{\hspace{1}{v}_{0}}^{2}=2a$x-\hspace{1}{x}_{0}$ }$ より，

$3$\displaystyle{ {v}^{2}- {0}^{2}=2\frac{\hspace{2}F\hspace{2}}{\hspace{2}m\hspace{2}}$x-0$ }$

⇒ $3$\displaystyle{ Fx=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}m{v}^{2} }$

となる．よって，力 $3$\displaystyle{ F }$ がした( $3$\displaystyle{ F }$ を及ぼした主体がした)仕事 $3$\displaystyle{W=Fx}$ に等しいエネルギーを物体がもち，これが運動エネルギーである．

$運動エネルギー$

より一般には，速さ $3$\displaystyle{ \hspace{1}{v}_{\text{i}}\[\text{m/s}\] }$ で運動している質量 $3$\displaystyle{m\[\text{kg}\]}$ の物体に力がはたらいて仕事 $3$\displaystyle{W\[\text{J}\]}$ をし，物体の速さが $3$\displaystyle{ \hspace{1}{v}_{\text{f}}\[\text{m/s}\] }$ になったとき，その仕事がすべて運動エネルギーに変換されたとすると，仕事と運動エネルギーには以下の関係が成り立つ．

$3$\displaystyle{W=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}mv_{\text{f}}^{2}- \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}mv_{\text{i}}^{2}}$

これを仕事と運動エネルギーの関係という．

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学生スタッフ作成

最終更新日：2025年9月24日

運動エネルギー

○ の導出

○ $3$\displaystyle{ K=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}m{v}^{2} }$ の導出