薄いプリズムを透過した光線の偏角

図のように，頂角 $3$\displaystyle{{\theta}}$ が十分小さい楔（くさび）型の薄いプリズム（屈折率 $3$\displaystyle{n}$ ）に十分小さな入射角 $3$\displaystyle{i}$ で単色光が入射するとき，プリズムの点Aに入射する光線と点Bから透過する光線との間の角 $3$\displaystyle{{\delta}}$ （偏角）は近似的に

$3$\displaystyle{ {\delta}\approx $n- 1${\theta} }$

とみなせる．（※ 図では見やすいように頂角 $3$\displaystyle{{\theta}}$ や入射角 $3$\displaystyle{i}$ を大きく描いているが，上式が成立するのは $3$\displaystyle{\sin {\theta}\approx {\theta}}$ , $3$\displaystyle{\sin i\approx i}$ と近似できるくらいの小さな角度である．）

屈折率 $3$\displaystyle{1.5}$ のガラスでできた薄いプリズムの場合， $3$\displaystyle{ {\delta}\approx 0.5{\theta} }$ より偏角 $3$\displaystyle{{\delta}}$ は頂角 $3$\displaystyle{{\theta}}$ のおよそ半分となる．

＜証明＞
点Aでの入射角 $3$\displaystyle{i}$ と屈折角 $3$\displaystyle{r}$ について，屈折の法則は

$3$\displaystyle{ \frac{\hspace{2} \sin i \hspace{2}}{\hspace{2} \sin r \hspace{2}}=n }$

であり， $3$\displaystyle{i}$ が十分小さい場合 $3$\displaystyle{r}$ も十分小さいとみなせるので $3$\displaystyle{\sin i\approx i}$ , $3$\displaystyle{\sin r\approx r}$ より上式から

$3$\displaystyle{i\approx nr}$ --- (1)

となる．同様に点Bでの入射角 $3$\displaystyle{{i}^{\prime }}$ と屈折角 $3$\displaystyle{{r}^{\prime }}$ について，屈折の法則は

$3$\displaystyle{ \frac{\hspace{2} \sin {i}^{\prime } \hspace{2}}{\hspace{2} \sin {r}^{\prime } \hspace{2}}=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}n\hspace{2}} }$

であり， $3$\displaystyle{{\theta}}$ と $3$\displaystyle{r}$ が十分小さければ $3$\displaystyle{{i}^{\prime }}$ と $3$\displaystyle{{r}^{\prime }}$ も十分小さいので $3$\displaystyle{\sin {i}^{\prime }\approx {i}^{\prime }}$ , $3$\displaystyle{\sin {r}^{\prime }\approx {r}^{\prime }}$ より

$3$\displaystyle{{r}^{\prime }\approx n{i}^{\prime }}$ --- (2)

となる．また，図において三角形の外角の性質より

$3$\displaystyle{ {\theta}=r+{i}^{\prime } }$ --- (3)
$3$\displaystyle{ {\delta}=i- r+{r}^{\prime }- {i}^{\prime } }$ --- (4)

である．式(1),(2),(3)を用いると式(4)は

$3$\displaystyle{ {\delta}=i+{r}^{\prime }- $r+{i}^{\prime }$ }$ $3$\displaystyle{ \approx n$r+{i}^{\prime }$- $r+{i}^{\prime }$ }$ $3$\displaystyle{ =n{\theta}- {\theta} }$ $3$\displaystyle{ =$n- 1${\theta} }$

となる．

※ 補足
下の図の場合も考え方は全く同じである．

図において三角形の外角の性質より

$3$\displaystyle{ {\theta}+{i}^{\prime }=r }$ --- (5)
$3$\displaystyle{ {\delta}+{r}^{\prime }- {i}^{\prime }=i- r }$ --- (6)

なので，式(1),(2),(5)を用いると式(6)は

$3$\displaystyle{ {\delta}=i- {r}^{\prime }- $r- {i}^{\prime }$ }$ $3$\displaystyle{ \approx n$r- {i}^{\prime }$- $r- {i}^{\prime }$ }$ $3$\displaystyle{ =n{\theta}- {\theta} }$ $3$\displaystyle{ =$n- 1${\theta} }$

となる．

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最終更新日： 2025年10月24日