レンズ

レンズとは，光を屈折させて収束や発散させる光学素子のことであり，その多くは2つの球面で囲まれたガラスなどの透明体でできており，その2つの球面の中心を結ぶ直線を光軸という．レンズには，中心部が周辺部より厚い凸レンズ（光を収束させる）と，中心部が周辺部より薄い凹レンズ（光を発散させる）がある．

光軸に平行な光を凸レンズに当てると，レンズの両面で屈折し，レンズの後方の光軸上の1点を通過する．この点を凸レンズの焦点といい，レンズの中心から焦点までの距離を焦点距離という．逆行する光は同じ経路を通るので，焦点を通ってレンズに入る光は，レンズ通過後は光軸に平行に進む．焦点はレンズの前後に1つずつあり，薄いレンズでは，それらの焦点距離が等しい．

凹レンズの場合，光軸に平行な光を当てると，レンズ後方の光は，レンズ前方の光軸上の1点から出たように進む．この点を凹レンズの焦点という．逆にレンズ後方の焦点に向かって進む光は，レンズ通過後，光軸に平行に進む．

■ 凸レンズによる実像

図のように，凸レンズの焦点 $3$\displaystyle{\hspace{1}{\text{F}}_{1}}$ の外側に物体 $3$\displaystyle{\text{AB}}$ を置くと，レンズ後方のある位置に倒立像 $3$\displaystyle{{\text{A}}^{\prime }{\text{B}}^{\prime }}$ が生じる．この像は，実際に物体からの光が集まってできる像なので，実像という．

凸レンズと物体 $3$\displaystyle{\text{AB}}$ との距離を $3$\displaystyle{a}$ ，凸レンズと実像 $3$\displaystyle{{\text{A}}^{\prime }{\text{B}}^{\prime }}$ との距離を $3$\displaystyle{b}$ ，凸レンズの焦点距離を $3$\displaystyle{f}$ とすると，以下の関係式

$3$\displaystyle{ \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}a\hspace{2}}+\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}b\hspace{2}}=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}f\hspace{2}} }$ ······ (1)

を満たす．これは物体と生じる像の位置関係を表す式で写像公式という．

写像公式(1)の導出（クリックで開く）

$3$\displaystyle{\triangle \text{ABO}}$ と $3$\displaystyle{\triangle {\text{A}}^{\prime }{\text{B}}^{\prime }\text{O}}$ は相似なので

$3$\displaystyle{ \frac{\hspace{2} {\text{A}}^{\prime }{\text{B}}^{\prime } \hspace{2}}{\hspace{2} \text{AB} \hspace{2}}=\frac{\hspace{2} {\text{B}}^{\prime }\text{O} \hspace{2}}{\hspace{2} \text{BO} \hspace{2}}=\frac{\hspace{2}b\hspace{2}}{\hspace{2}a\hspace{2}} }$ ······ ①

であり， $3$\displaystyle{\triangle \hspace{1}{\text{POF}}_{2}}$ と $3$\displaystyle{\triangle {\text{A}}^{\prime }{\text{B}}^{\prime }\hspace{1}{\text{F}}_{2}}$ も相似なので

$3$\displaystyle{ \frac{\hspace{2} {\text{A}}^{\prime }{\text{B}}^{\prime } \hspace{2}}{\hspace{2} \text{PO} \hspace{2}}=\frac{\hspace{2} {\text{B}}^{\prime }\hspace{1}{\text{F}}_{2} \hspace{2}}{\hspace{2} \text{O}\hspace{1}{\text{F}}_{2} \hspace{2}}=\frac{\hspace{2} b- f \hspace{2}}{\hspace{2}f\hspace{2}} }$ ······ ②

である． $3$\displaystyle{\text{AB}=\text{PO}}$ より，① ＝ ② が成り立つので

$3$\displaystyle{ \frac{\hspace{2}b\hspace{2}}{\hspace{2}a\hspace{2}}=\frac{\hspace{2} b- f \hspace{2}}{\hspace{2}f\hspace{2}} }$ ⇔ $3$\displaystyle{ \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}a\hspace{2}}=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}f\hspace{2}}- \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}b\hspace{2}} }$ ⇔ $3$\displaystyle{ \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}a\hspace{2}}+\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}b\hspace{2}}=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}f\hspace{2}} }$

が得られる．

物体の大きさに対する像の大きさの比を倍率といい，次式で表される．

倍率 $3$\displaystyle{ m=\frac{\hspace{2} {\text{A}}^{\prime }{\text{B}}^{\prime } \hspace{2}}{\hspace{2} \text{AB} \hspace{2}}=\frac{\hspace{2}b\hspace{2}}{\hspace{2}a\hspace{2}} }$

■ 凸レンズによる虚像

図のように，凸レンズの焦点 $3$\displaystyle{\hspace{1}{\text{F}}_{1}}$ の内側に物体 $3$\displaystyle{\text{AB}}$ を置いて，レンズの後方から物体 $3$\displaystyle{\text{AB}}$ を覗き見ると，あたかも $3$\displaystyle{{\text{A}}^{\prime }{\text{B}}^{\prime }}$ のように拡大されて見える．この像は，実際には光が集まって生じた像ではないので，虚像といい，倒立していないので正立像である．

凸レンズと物体 $3$\displaystyle{\text{AB}}$ との距離を $3$\displaystyle{a}$ ，凸レンズと虚像 $3$\displaystyle{{\text{A}}^{\prime }{\text{B}}^{\prime }}$ との距離を $3$\displaystyle{{b}^{\prime }}$ ，凸レンズの焦点距離を $3$\displaystyle{f}$ とすると，以下の関係式

$3$\displaystyle{ \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}a\hspace{2}}- \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}{b}^{\prime }\hspace{2}}=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}f\hspace{2}} }$ ······ (2)

を満たす．これは写像公式(1)に $3$\displaystyle{b=- {b}^{\prime }}$ を代入すれば求まるため，虚像の場合は $3$\displaystyle{b< 0}$ となると考えればよい．また，倍率 $3$\displaystyle{m}$ は

$3$\displaystyle{ m=\frac{\hspace{2} {\text{A}}^{\prime }{\text{B}}^{\prime } \hspace{2}}{\hspace{2} \text{AB} \hspace{2}}=\frac{\hspace{2}{b}^{\prime }\hspace{2}}{\hspace{2}a\hspace{2}} }$

である．焦点距離 $3$\displaystyle{f}$ は正なので，(2)より $3$\displaystyle{a< {b}^{\prime }}$ となり，倍率 $3$\displaystyle{m> 1}$ である（拡大される）．

写像公式(2)の導出（クリックで開く）

$3$\displaystyle{\triangle \text{ABO}}$ と $3$\displaystyle{\triangle {\text{A}}^{\prime }{\text{B}}^{\prime }\text{O}}$ は相似なので

$3$\displaystyle{ \frac{\hspace{2} {\text{A}}^{\prime }{\text{B}}^{\prime } \hspace{2}}{\hspace{2} \text{AB} \hspace{2}}=\frac{\hspace{2} {\text{B}}^{\prime }\text{O} \hspace{2}}{\hspace{2} \text{BO} \hspace{2}}=\frac{\hspace{2}{b}^{\prime }\hspace{2}}{\hspace{2}a\hspace{2}} }$ ······ ③

であり， $3$\displaystyle{\triangle \hspace{1}{\text{POF}}_{2}}$ と $3$\displaystyle{\triangle {\text{A}}^{\prime }{\text{B}}^{\prime }\hspace{1}{\text{F}}_{2}}$ も相似なので

$3$\displaystyle{ \frac{\hspace{2} {\text{A}}^{\prime }{\text{B}}^{\prime } \hspace{2}}{\hspace{2} \text{PO} \hspace{2}}=\frac{\hspace{2} {\text{B}}^{\prime }\hspace{1}{\text{F}}_{2} \hspace{2}}{\hspace{2} \text{O}\hspace{1}{\text{F}}_{2} \hspace{2}}=\frac{\hspace{2} {b}^{\prime }+f \hspace{2}}{\hspace{2}f\hspace{2}} }$ ······ ④

である． $3$\displaystyle{\text{AB}=\text{PO}}$ より，③ ＝ ④ が成り立つので

$3$\displaystyle{ \frac{\hspace{2}{b}^{\prime }\hspace{2}}{\hspace{2}a\hspace{2}}=\frac{\hspace{2} {b}^{\prime }+f \hspace{2}}{\hspace{2}f\hspace{2}} }$ ⇔ $3$\displaystyle{ \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}a\hspace{2}}=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}f\hspace{2}}+\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}{b}^{\prime }\hspace{2}} }$ ⇔ $3$\displaystyle{ \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}a\hspace{2}}- \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}{b}^{\prime }\hspace{2}}=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}f\hspace{2}} }$

が得られる．

■ 凹レンズによる虚像

図のように，凹レンズの前方に物体 $3$\displaystyle{\text{AB}}$ を置いて，レンズの後方から物体 $3$\displaystyle{\text{AB}}$ を覗き見ると，あたかも $3$\displaystyle{{\text{A}}^{\prime }{\text{B}}^{\prime }}$ のように縮小されて見える．この像は，実際には光が集まって生じた像ではないので虚像であり，物体が焦点より近くても遠くても実像はできず，常にレンズ越しに正立像が見える．

凹レンズと物体 $3$\displaystyle{\text{AB}}$ との距離を $3$\displaystyle{a}$ ，凹レンズと虚像 $3$\displaystyle{{\text{A}}^{\prime }{\text{B}}^{\prime }}$ との距離を $3$\displaystyle{{b}^{\prime }}$ ，凹レンズの焦点距離を $3$\displaystyle{{f}^{\prime }}$ とすると，以下の関係式

$3$\displaystyle{ \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}a\hspace{2}}- \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}{b}^{\prime }\hspace{2}}=- \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}{f}^{\prime }\hspace{2}} }$ ······ (3)

を満たす．これは写像公式(1)に $3$\displaystyle{b=- {b}^{\prime }}$ ，及び $3$\displaystyle{f=- {f}^{\prime }}$ を代入すれば求まるため，凹レンズの場合は $3$\displaystyle{f< 0}$ となると考えればよい．また，倍率 $3$\displaystyle{m}$ は

$3$\displaystyle{ m=\frac{\hspace{2} {\text{A}}^{\prime }{\text{B}}^{\prime } \hspace{2}}{\hspace{2} \text{AB} \hspace{2}}=\frac{\hspace{2}{b}^{\prime }\hspace{2}}{\hspace{2}a\hspace{2}} }$

である．焦点距離 $3$\displaystyle{{f}^{\prime }}$ は正なので，(3)より $3$\displaystyle{a> {b}^{\prime }}$ となり，倍率 $3$\displaystyle{m< 1}$ である（縮小される）．

写像公式(3)の導出（クリックで開く）

$3$\displaystyle{\triangle \text{ABO}}$ と $3$\displaystyle{\triangle {\text{A}}^{\prime }{\text{B}}^{\prime }\text{O}}$ は相似なので

$3$\displaystyle{ \frac{\hspace{2} {\text{A}}^{\prime }{\text{B}}^{\prime } \hspace{2}}{\hspace{2} \text{AB} \hspace{2}}=\frac{\hspace{2} {\text{B}}^{\prime }\text{O} \hspace{2}}{\hspace{2} \text{BO} \hspace{2}}=\frac{\hspace{2}{b}^{\prime }\hspace{2}}{\hspace{2}a\hspace{2}} }$ ······ ⑤

であり， $3$\displaystyle{\triangle \hspace{1}{\text{POF}}_{1}}$ と $3$\displaystyle{\triangle {\text{A}}^{\prime }{\text{B}}^{\prime }\hspace{1}{\text{F}}_{1}}$ も相似なので

$3$\displaystyle{ \frac{\hspace{2} {\text{A}}^{\prime }{\text{B}}^{\prime } \hspace{2}}{\hspace{2} \text{PO} \hspace{2}}=\frac{\hspace{2} {\text{B}}^{\prime }\hspace{1}{\text{F}}_{1} \hspace{2}}{\hspace{2} \text{O}\hspace{1}{\text{F}}_{1} \hspace{2}}=\frac{\hspace{2} {f}^{\prime }- {b}^{\prime } \hspace{2}}{\hspace{2}{f}^{\prime }\hspace{2}} }$ ······ ⑥

である． $3$\displaystyle{\text{AB}=\text{PO}}$ より，⑤ ＝ ⑥ が成り立つので

$3$\displaystyle{ \frac{\hspace{2}{b}^{\prime }\hspace{2}}{\hspace{2}a\hspace{2}}=\frac{\hspace{2} {f}^{\prime }- {b}^{\prime } \hspace{2}}{\hspace{2}{f}^{\prime }\hspace{2}} }$ ⇔ $3$\displaystyle{ \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}a\hspace{2}}=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}{b}^{\prime }\hspace{2}}- \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}{f}^{\prime }\hspace{2}} }$ ⇔ $3$\displaystyle{ \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}a\hspace{2}}- \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}{b}^{\prime }\hspace{2}}=- \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}{f}^{\prime }\hspace{2}} }$

が得られる．

◎ レンズにおける光線の作図

上述のレンズによって生じる像の位置は，以下のレンズを通る光の性質を使って，作図により求めることができる．

レンズの中心を通る光は直進する
凸レンズの場合，光軸に平行な光がレンズに入射すると，レンズの後方で焦点を通る
凹レンズの場合，光軸に平行な光がレンズに入射すると，レンズの前方の焦点から出たように進む

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最終更新日： 2025年12月26日