ドップラー効果

音源 $3$\displaystyle{\text{S}}$ と観測者 $3$\displaystyle{\text{O}}$ が相対的に移動しているとき，観測者 $3$\displaystyle{\text{O}}$ が観測する音源 $3$\displaystyle{\text{S}}$ からの音の振動数 $3$\displaystyle{f\[\text{Hz}\]}$ は音源本来の振動数 $3$\displaystyle{\hspace{1}{f}_{0}\[\text{Hz}\]}$ とは異なる現象が起きる．この現象をドップラー効果といい，身近な例では，救急車が通り過ぎるときにサイレンの音の高さが変化して聞こえる，などがある．

ここでは，空気中の音の速さを $3$\displaystyle{V}$ $3$\displaystyle{\[\text{m/s}\]}$ として，以下の場合を考える．

音源だけが動く（観測者は静止）場合
観測者だけが動く（音源は静止）場合
音源も観測者も動く場合
風が吹いている場合
音源または観測者が斜めに動く場合
反射壁（板）がある場合

1. 音源 $3$\displaystyle{\text{S}}$ だけが動く（観測者は静止）場合 ▲

$3$\displaystyle{ f=\frac{\hspace{2}V\hspace{2}}{\hspace{2} V- \hspace{1}{v}_{\text{S}} \hspace{2}}\hspace{1}{f}_{0} }$ --- (1)

⇒【式(1)の導出】

2. 観測者 $3$\displaystyle{\text{O}}$ だけが動く（音源は静止）場合 ▲

$3$\displaystyle{ f=\frac{\hspace{2} V- \hspace{1}{v}_{\text{O}} \hspace{2}}{\hspace{2}V\hspace{2}}\hspace{1}{f}_{0} }$ --- (2)

⇒【式(2)の導出】

3. 音源 $3$\displaystyle{\text{S}}$ も観測者 $3$\displaystyle{\text{O}}$ も動く場合 ▲

音源 $3$\displaystyle{\text{S}}$ と観測者 $3$\displaystyle{\text{O}}$ を結ぶ直線上で， $3$\displaystyle{\text{S}}$ から $3$\displaystyle{\text{O}}$ への向きを正として $3$\displaystyle{\text{S}}$ が速度 $3$\displaystyle{\hspace{1}{v}_{\text{S}}}$ $3$\displaystyle{\[\text{m/s}\]}$ （ $3$\displaystyle{ \left|{ \hspace{1}{v}_{\text{S}} }\right|\ll V }$ ）， $3$\displaystyle{\text{O}}$ が速度 $3$\displaystyle{ \hspace{1}{v}_{\text{O}}\text{ }\[\text{m/s}\] }$
TeXに変換設定していない数学記号や，特殊文字が含まれています。今後直していきます。
（ $3$\displaystyle{ \left|{ \hspace{1}{v}_{\text{O}} }\right|\ll V }$ ）で動いているとき， $3$\displaystyle{\text{O}}$ が観測する音の振動数 $3$\displaystyle{f\[\text{Hz}\]}$ は次式で与えられる．

$3$\displaystyle{ f=\frac{\hspace{2} V- \hspace{1}{v}_{\text{O}} \hspace{2}}{\hspace{2} V- \hspace{1}{v}_{\text{S}} \hspace{2}}\hspace{1}{f}_{0} }$ --- (3)

上の(3)式において $3$\displaystyle{\hspace{1}{v}_{\text{O}}=0}$ とおくと(1)式となり， $3$\displaystyle{\hspace{1}{v}_{\text{S}}=0}$ とおくと(2)式となる．

⇒【式(3)の導出】

4. 風が吹いている場合 ▲

音源 $3$\displaystyle{\text{S}}$ と観測者 $3$\displaystyle{\text{O}}$ を結ぶ直線に沿って，一様な風が吹いて媒質（空気）全体が一定の速さ $3$\displaystyle{ \hspace{1}{V}_{\text{w}}\text{ }\[\text{m/s}\] }$
TeXに変換設定していない数学記号や，特殊文字が含まれています。今後直していきます。
（ $3$\displaystyle{\hspace{1}{V}_{\text{w}}\ll V}$ ）で動いている場合，地面に静止している立場から見ると，音は風と同じ向きには $3$\displaystyle{V+\hspace{1}{V}_{\text{w}}}$ の速さで，風と逆向きには $3$\displaystyle{V- \hspace{1}{V}_{\text{w}}}$ の速さで伝わる． $3$\displaystyle{\text{S}}$ から $3$\displaystyle{\text{O}}$ への向きを正として $3$\displaystyle{\text{S}}$ の速度と $3$\displaystyle{\text{O}}$ の速度をそれぞれ $3$\displaystyle{ \hspace{1}{v}_{\text{S}}\text{ }\[\text{m/s}\] }$
TeXに変換設定していない数学記号や，特殊文字が含まれています。今後直していきます。
， $3$\displaystyle{ \hspace{1}{v}_{\text{O}}\text{ }\[\text{m/s}\] }$
TeXに変換設定していない数学記号や，特殊文字が含まれています。今後直していきます。
とすると， $3$\displaystyle{\text{O}}$ が観測する音の振動数 $3$\displaystyle{f\[\text{Hz}\]}$ は次式で与えられる．

$3$\displaystyle{\text{S}}$ に対して $3$\displaystyle{\text{O}}$ が風下の場合：
$3$\displaystyle{ f=\frac{\hspace{2} \left({ V+\hspace{1}{V}_{\text{w}} }\right)- \hspace{1}{v}_{\text{O}} \hspace{2}}{\hspace{2} \left({ V+\hspace{1}{V}_{\text{w}} }\right)- \hspace{1}{v}_{\text{S}} \hspace{2}}\hspace{1}{f}_{0} }$ --- (4)

$3$\displaystyle{\text{S}}$ に対して $3$\displaystyle{\text{O}}$ が風上の場合：
$3$\displaystyle{ f=\frac{\hspace{2} \left({ V- \hspace{1}{V}_{\text{w}} }\right)- \hspace{1}{v}_{\text{O}} \hspace{2}}{\hspace{2} \left({ V- \hspace{1}{V}_{\text{w}} }\right)- \hspace{1}{v}_{\text{S}} \hspace{2}}\hspace{1}{f}_{0} }$ --- (5)

5. 音源 $3$\displaystyle{\text{S}}$ または観測者 $3$\displaystyle{\text{O}}$ が斜めに動く場合 ▲

図のように音源 $3$\displaystyle{\text{S}}$ が観測者 $3$\displaystyle{\text{O}}$ を結ぶ直線 $3$\displaystyle{\text{OS}}$ と角 $3$\displaystyle{{\theta}}$ の方向に速さ $3$\displaystyle{\hspace{1}{v}_{\text{S}}}$ で進む場合を考える．

$3$\displaystyle{\text{S}}$ の速度 $3$\displaystyle{\hspace{1}{{v}\limits^{\rightarrow }}_{\text{S}}}$ を， $3$\displaystyle{\text{OS}}$ 方向成分 $3$\displaystyle{\hspace{1}{v}_{ \text{S}∥ }=\hspace{1}{v}_{\text{S}}\cos {\theta}}$
TeXに変換設定していない数学記号や，特殊文字が含まれています。今後直していきます。
（視線速度）と $3$\displaystyle{\text{OS}}$ 方向に垂直な成分 $3$\displaystyle{\hspace{1}{v}_{ \text{S}⊥ }=\hspace{1}{v}_{\text{S}}\sin {\theta}}$
TeXに変換設定していない数学記号や，特殊文字が含まれています。今後直していきます。
に分解すると，ドップラー効果に効いてくるのは視線速度 $3$\displaystyle{\hspace{1}{v}_{ \text{S}∥ }}$
TeXに変換設定していない数学記号や，特殊文字が含まれています。今後直していきます。
のみであり，音源 $3$\displaystyle{\text{S}}$ のみが動く場合の式(1)から，観測者 $3$\displaystyle{\text{O}}$ が観測する音の振動数 $3$\displaystyle{f\[\text{Hz}\]}$ は次式で与えられる．

$3$\displaystyle{ f=\frac{\hspace{2}V\hspace{2}}{\hspace{2} V- \hspace{1}{v}_{ \text{S}∥ } \hspace{2}}\hspace{1}{f}_{0} }$
TeXに変換設定していない数学記号や，特殊文字が含まれています。今後直していきます。
$3$\displaystyle{ =\frac{\hspace{2}V\hspace{2}}{\hspace{2} V- \hspace{1}{v}_{\text{S}}\cos {\theta} \hspace{2}}\hspace{1}{f}_{0} }$ --- (6)

観測者 $3$\displaystyle{\text{O}}$ が斜めに動く場合も同様で， $3$\displaystyle{\text{O}}$ が直線 $3$\displaystyle{\text{OS}}$ と角 $3$\displaystyle{{\theta}}$ の方向に速さ $3$\displaystyle{\hspace{1}{v}_{\text{O}}}$ で進む場合，速度の $3$\displaystyle{\text{OS}}$ 方向成分 $3$\displaystyle{\hspace{1}{v}_{ \text{O}∥ }=\hspace{1}{v}_{\text{O}}\cos {\theta}}$
TeXに変換設定していない数学記号や，特殊文字が含まれています。今後直していきます。
のみがドップラー効果に効く．このとき，観測者 $3$\displaystyle{\text{O}}$ のみが動く場合の式(2)から，観測者 $3$\displaystyle{\text{O}}$ が観測する音の振動数 $3$\displaystyle{f\[\text{Hz}\]}$ は次式で与えられる．

$3$\displaystyle{ f=\frac{\hspace{2} V- \hspace{1}{v}_{ \text{O}∥ } \hspace{2}}{\hspace{2}V\hspace{2}}\hspace{1}{f}_{0} }$
TeXに変換設定していない数学記号や，特殊文字が含まれています。今後直していきます。
$3$\displaystyle{ =\frac{\hspace{2} V- \hspace{1}{v}_{\text{O}}\cos {\theta} \hspace{2}}{\hspace{2}V\hspace{2}}\hspace{1}{f}_{0} }$ --- (7)

6. 反射壁（板）がある場合 ▲

■ 静止した反射壁 $3$\displaystyle{\text{R}}$ に対して音源 $3$\displaystyle{\text{S}}$ が速さ $3$\displaystyle{\hspace{1}{v}_{\text{S}}}$ $3$\displaystyle{\[\text{m/s}\]}$ で動く場合

図のように反射壁 $3$\displaystyle{\text{R}}$ ，音源 $3$\displaystyle{\text{S}}$ ，観測者 $3$\displaystyle{\text{O}}$ の順に並び，直線 $3$\displaystyle{\text{OS}}$ と $3$\displaystyle{\text{R}}$ の面は垂直とする．

振動数 $3$\displaystyle{\hspace{1}{f}_{0}}$ $3$\displaystyle{\[\text{Hz}\]}$ の音を発する $3$\displaystyle{\text{S}}$ が $3$\displaystyle{\text{OS}}$ 方向を $3$\displaystyle{\text{R}}$ に向かって速さ $3$\displaystyle{\hspace{1}{v}_{\text{S}}}$ $3$\displaystyle{\[\text{m/s}\]}$ で近づくとき， $3$\displaystyle{\text{O}}$ が $3$\displaystyle{\text{S}}$ から直接聞く音の振動数 $3$\displaystyle{\hspace{1}{f}_{1}}$ $3$\displaystyle{\[\text{Hz}\]}$ は，音源 $3$\displaystyle{\text{S}}$ のみが動く場合の式(1)から次式となる．

$3$\displaystyle{ \hspace{1}{f}_{1}=\frac{\hspace{2}V\hspace{2}}{\hspace{2} V+\hspace{1}{v}_{\text{S}} \hspace{2}}\hspace{1}{f}_{0} }$

一方，壁からの反射音の振動数 $3$\displaystyle{\hspace{1}{f}_{2}}$ $3$\displaystyle{\[\text{Hz}\]}$ は，壁を観測者と考えたときに壁が受け取る音の振動数であるので次式となる．

$3$\displaystyle{ \hspace{1}{f}_{2}=\frac{\hspace{2}V\hspace{2}}{\hspace{2} V- \hspace{1}{v}_{\text{S}} \hspace{2}}\hspace{1}{f}_{0} }$

これは，あたかも同じ振動数の音源 $3$\displaystyle{{\text{S}}^{\prime }}$ が壁の向こうから $3$\displaystyle{\text{O}}$ に向かって速さ $3$\displaystyle{\hspace{1}{v}_{\text{S}}}$ $3$\displaystyle{\[\text{m/s}\]}$ で近づいたと考えたときの $3$\displaystyle{\text{O}}$ が聞く音の振動数である．このとき， $3$\displaystyle{\text{O}}$ が観測する1秒間のうなりの回数 $3$\displaystyle{n}$ は次式で与えられる．

$3$\displaystyle{ n=\hspace{1}{f}_{2}- \hspace{1}{f}_{1} }$ $3$\displaystyle{ =\frac{\hspace{2}V\hspace{2}}{\hspace{2} V- \hspace{1}{v}_{\text{S}} \hspace{2}}\hspace{1}{f}_{0}- \frac{\hspace{2}V\hspace{2}}{\hspace{2} V+\hspace{1}{v}_{\text{S}} \hspace{2}}\hspace{1}{f}_{0} }$ $3$\displaystyle{ =\frac{\hspace{2} 2{V}^{2} \hspace{2}}{\hspace{2} $V- \hspace{1}{v}_{\text{S}}$$V+\hspace{1}{v}_{\text{S}}$ \hspace{2}}\hspace{1}{f}_{0} }$ --- (8)

■ 静止した音源 $3$\displaystyle{\text{S}}$ に対し反射壁 $3$\displaystyle{\text{R}}$ が速度 $3$\displaystyle{\hspace{1}{v}_{\text{R}}}$ $3$\displaystyle{\[\text{m/s}\]}$ で動く場合

$3$\displaystyle{\text{R}}$ が $3$\displaystyle{\text{OS}}$ 方向を，振動数 $3$\displaystyle{\hspace{1}{f}_{0}}$ $3$\displaystyle{\[\text{Hz}\]}$ の音を発する $3$\displaystyle{\text{S}}$ に向かって速さ $3$\displaystyle{\hspace{1}{v}_{\text{R}}}$ $3$\displaystyle{\[\text{m/s}\]}$ で近づくとき，壁を観測者と考えたときに壁が受け取る音の振動数 $3$\displaystyle{\hspace{1}{f}_{1}}$ $3$\displaystyle{\[\text{Hz}\]}$ は，観測者 $3$\displaystyle{\text{O}}$ のみが動く場合の式(2)から次式となる．

$3$\displaystyle{ \hspace{1}{f}_{1}=\frac{\hspace{2} V+\hspace{1}{v}_{\text{R}} \hspace{2}}{\hspace{2}V\hspace{2}}\hspace{1}{f}_{0} }$

$3$\displaystyle{\text{R}}$ は受け取った音を反射する，つまり音源として観測者 $3$\displaystyle{\text{O}}$ に向かって発するので， $3$\displaystyle{\text{O}}$ が観測する反射した音の振動数 $3$\displaystyle{\hspace{1}{f}_{2}}$ $3$\displaystyle{\[\text{Hz}\]}$ は，音源 $3$\displaystyle{\text{S}}$ のみが動く場合の式(1)から次式となる．

$3$\displaystyle{ \hspace{1}{f}_{2}=\frac{\hspace{2}V\hspace{2}}{\hspace{2} V- \hspace{1}{v}_{\text{R}} \hspace{2}}\hspace{1}{f}_{1} }$ $3$\displaystyle{ =\frac{\hspace{2} V+\hspace{1}{v}_{\text{R}} \hspace{2}}{\hspace{2} V- \hspace{1}{v}_{\text{R}} \hspace{2}}\hspace{1}{f}_{0} }$ --- (9)

このとき， $3$\displaystyle{\text{O}}$ が観測する1秒間のうなりの回数 $3$\displaystyle{n}$ は次式で与えられる．

$3$\displaystyle{ n=\hspace{1}{f}_{2}- \hspace{1}{f}_{0} }$ $3$\displaystyle{ =\frac{\hspace{2} V+\hspace{1}{v}_{\text{R}} \hspace{2}}{\hspace{2} V- \hspace{1}{v}_{\text{R}} \hspace{2}}\hspace{1}{f}_{0}- \hspace{1}{f}_{0} }$ $3$\displaystyle{ =\frac{\hspace{2} 2\hspace{1}{v}_{\text{R}} \hspace{2}}{\hspace{2} V- \hspace{1}{v}_{\text{R}} \hspace{2}}\hspace{1}{f}_{0} }$ --- (10)

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最終更新日： 2025年10月24日