波の干渉条件証明

波源 $3$\displaystyle{\hspace{1}{\text{S}}_{\text{1}}}$ ， $3$\displaystyle{\hspace{1}{\text{S}}_{\text{2}}}$ から出る $3$\displaystyle{\text{P}}$ 点での変位を
$3$\displaystyle{\hspace{1}{y}_{1} $ \hspace{1}{r}_{1},t $ =A\sin 2{\pi} $ \frac{\hspace{2}t\hspace{2}}{\hspace{2}T\hspace{2}}- \frac{\hspace{2} \hspace{1}{r}_{1} \hspace{2}}{\hspace{2}{\lambda}\hspace{2}} $ }$
$3$\displaystyle{\hspace{1}{y}_{2} $ \hspace{1}{r}_{2},t $ =A\sin 2{\pi} $ \frac{\hspace{2}t\hspace{2}}{\hspace{2}T\hspace{2}}- \frac{\hspace{2} \hspace{1}{r}_{2} \hspace{2}}{\hspace{2}{\lambda}\hspace{2}} $ }$
とすると， $3$\displaystyle{\text{P}}$ 点での合成波の変位は
$3$\displaystyle{y=\hspace{1}{y}_{1}+\hspace{1}{y}_{2}=A\sin 2{\pi} $ \frac{\hspace{2}t\hspace{2}}{\hspace{2}T\hspace{2}}- \frac{\hspace{2} \hspace{1}{r}_{1} \hspace{2}}{\hspace{2}{\lambda}\hspace{2}} $ +A\sin 2{\pi} $ \frac{\hspace{2}t\hspace{2}}{\hspace{2}T\hspace{2}}- \frac{\hspace{2} \hspace{1}{r}_{2} \hspace{2}}{\hspace{2}{\lambda}\hspace{2}} $ }$
ここで三角関数の和積の公式より
$3$\displaystyle{y=2A\sin \frac{\hspace{2} 2{\pi} $ \frac{\hspace{2}t\hspace{2}}{\hspace{2}T\hspace{2}}- \frac{\hspace{2} \hspace{1}{r}_{1} \hspace{2}}{\hspace{2}{\lambda}\hspace{2}} $ +2{\pi} $ \frac{\hspace{2}t\hspace{2}}{\hspace{2}T\hspace{2}}- \frac{\hspace{2} \hspace{1}{r}_{2} \hspace{2}}{\hspace{2}{\lambda}\hspace{2}} $ \hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}\cos \frac{\hspace{2} 2{\pi} $ \frac{\hspace{2}t\hspace{2}}{\hspace{2}T\hspace{2}}- \frac{\hspace{2} \hspace{1}{r}_{1} \hspace{2}}{\hspace{2}{\lambda}\hspace{2}} $ - 2{\pi} $ \frac{\hspace{2}t\hspace{2}}{\hspace{2}T\hspace{2}}- \frac{\hspace{2} \hspace{1}{r}_{2} \hspace{2}}{\hspace{2}{\lambda}\hspace{2}} $ \hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}}$
したがって
$3$\displaystyle{y=2A\cos {\pi} $ \frac{\hspace{2} \| \hspace{1}{r}_{1}- \hspace{1}{r}_{2} \| \hspace{2}}{\hspace{2}{\lambda}\hspace{2}} $ \sin 2{\pi} $ \frac{\hspace{2}t\hspace{2}}{\hspace{2}T\hspace{2}}- \frac{\hspace{2} \hspace{1}{r}_{1}+\hspace{1}{r}_{2} \hspace{2}}{\hspace{2} 2{\lambda} \hspace{2}} $ }$
となるから， $3$\displaystyle{ \| \hspace{1}{r}_{1}- \hspace{1}{r}_{2} \| =m{\lambda}}$ のとき振幅は $3$\displaystyle{2A}$ で最大， $3$\displaystyle{ \| \hspace{1}{r}_{1}- \hspace{1}{r}_{2} \| = $ 2m+1 $ \frac{\hspace{2}{\lambda}\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}}$ のとき振幅は $3$\displaystyle{0}$ となる．

ホーム>>物理基礎>>第3編　波>>第1章　波の性質>>波の干渉条件の証明

学生スタッフ作成

最終更新日：2025年10月7日