微分演算子，逆演算子に関する問題

■問題

次の計算をせよ．

$3$\displaystyle{\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} D+2 \hspace{2}}{x}^{3}}$

■答

$3$\displaystyle{ \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}{x}^{3}- \frac{\hspace{2}3\hspace{2}}{\hspace{2}4\hspace{2}}{x}^{2}+\frac{\hspace{2}3\hspace{2}}{\hspace{2}4\hspace{2}}x- \frac{\hspace{2}3\hspace{2}}{\hspace{2}8\hspace{2}} }$

■ヒント

逆演算子の公式を用いて解く．公式が活用できるように，以下のように逆演算子を変形するとよい．このマクローリン展開の問題例が参考になる．

$3$\displaystyle{\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}\cdot \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} 1+\frac{\hspace{2}D\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}} \hspace{2}}{x}^{3}}$

■解き方

これを解くと,

$3$\displaystyle{\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} D+2 \hspace{2}}{x}^{3}}$ $3$\displaystyle{=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}\cdot \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} 1+\frac{\hspace{2}D\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}} \hspace{2}}{x}^{3}}$

$3$\displaystyle{=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}} $ 1- \frac{\hspace{2}D\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}+\frac{\hspace{2} {D}^{2} \hspace{2}}{\hspace{2}4\hspace{2}}- \frac{\hspace{2} {D}^{3} \hspace{2}}{\hspace{2}8\hspace{2}}+\cdots $ {x}^{3}}$

$3$\displaystyle{=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}} $ {x}^{3}- \frac{\hspace{2}3\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}{x}^{2}+\frac{\hspace{2}6\hspace{2}}{\hspace{2}4\hspace{2}}x- \frac{\hspace{2}6\hspace{2}}{\hspace{2}8\hspace{2}} $ }$

$3$\displaystyle{=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}{x}^{3}- \frac{\hspace{2}3\hspace{2}}{\hspace{2}4\hspace{2}}{x}^{2}+\frac{\hspace{2}3\hspace{2}}{\hspace{2}4\hspace{2}}x- \frac{\hspace{2}3\hspace{2}}{\hspace{2}8\hspace{2}}}$

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最終更新日： 2023年6月29日