式の導出

逆演算子 $3$\displaystyle{ \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} 1- aD \hspace{2}} }$ は

$3$\displaystyle{\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} 1- aD \hspace{2}}}$ $3$\displaystyle{=1+aD+{a}^{2}{D}^{2}+{a}^{3}{D}^{3}+\cdot \cdot \cdot }$ 　･･････(1)

のようにべき級数展開できる．

■導出

$3$\displaystyle{\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} 1- t \hspace{2}}}$ をマクローリン展開すると

$3$\displaystyle{\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} 1- t \hspace{2}}=1+t+{t}^{2}+{t}^{3}+\cdots }$ 　･･････(2)

となる．(2)より

$3$\displaystyle{\left({ 1- t }\right)\left({ 1+t+{t}^{2}+{t}^{3}+\cdots }\right)=1}$ 　･･････(3)

(3)が成り立つ．微分演算子は，多項式と同様に，和，差，定数倍，積が成り立つので，(3)の $3$\displaystyle{t}$ を $3$\displaystyle{aD}$ に書きかえた

$3$\displaystyle{\left({ 1- aD }\right)\left{{ 1+aD+{ \left({ aD }\right) }^{2}+{ \left({ aD }\right) }^{3}+\cdots }\right}=1}$ 　･･････(4)

も成立する． $3$\displaystyle{ F\left({x}\right) }$ に(4)の両辺の微分演算子をほどこすと

$3$\displaystyle{ \left({ 1- aD }\right)\left{{ 1+aD+{ \left({ aD }\right) }^{2}+{ \left({ aD }\right) }^{3}+\cdots }\right}F\left({x}\right) }$ $3$\displaystyle{ =1\cdot F\left({x}\right) }$ 　･･････(5)

となる．以下のように微分演算子の計算を進める．

$3$\displaystyle{\left{{ 1+aD+{ \left({ aD }\right) }^{2}+{ \left({ aD }\right) }^{3}+\cdots }\right}F\left({x}\right)}$ は $3$\displaystyle{x}$ の関数で

逆演算子の考えを用いて(5)を書き直すと

$3$\displaystyle{\left{{ 1+aD+{ \left({ aD }\right) }^{2}+{ \left({ aD }\right) }^{3}+\cdots }\right}F\left({x}\right)}$ $3$\displaystyle{=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} 1- aD \hspace{2}}F\left({x}\right)}$ 　　･･････(6)

が得られ，したがって

$3$\displaystyle{\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} 1- aD \hspace{2}}}$ $3$\displaystyle{=1+aD+{a}^{2}{D}^{2}+{a}^{3}{D}^{3}+\cdot \cdot \cdot }$ 　･･････(7)

となる．

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　最終更新日： 2024年10月7日