微分の計算問題

■問題

次の条件を満たす時，3次関数 $3$\displaystyle{ f $x$ }$ を求めよ．

$3$\displaystyle{x{f}^{\prime\prime } $x$ + $ 3+x $ {f}^{\prime } $x$ - 3f $x$ =0}$

$3$\displaystyle{f $0$ =1}$

■答

$3$\displaystyle{f $x$ = \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} 60 \hspace{2}}{x}^{3}+\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}4\hspace{2}}{x}^{2}+x+1 }$

■ヒント

$3$\displaystyle{ f $x$ =a{x}^{3}+b{x}^{2}+cx+d }$ とおく．

■解説

$3$\displaystyle{f $x$ }$ は3次関数なので

$3$\displaystyle{\hspace{5}\hspace{5}f\hspace{5} $x$ =a{x}^{3}+b{x}^{2}+cx+d}$

と置く．

$3$\displaystyle{f $0$ =1}$ より

$3$\displaystyle{f $0$ =a\text{\hspace{1} }\cdot \text{\hspace{1} }{0}^{3}+b\text{\hspace{1} }\cdot \text{\hspace{1} }{0}^{2}+c\text{\hspace{1} }\cdot \text{\hspace{1} }0+d=1}$

$3$\displaystyle{d=1}$

よって

$3$\displaystyle{f $x$ =a{x}^{3}+b{x}^{2}+cx+1}$ ･･････(1)

また

$3$\displaystyle{ {f}^{\prime } $x$ =3a{x}^{2}+2bx+c }$ ･･････(2)

$3$\displaystyle{{f}^{\prime\prime } $x$ =6ax+2b}$ ･･････(3)

となりる．

(1)，(2)，(3)を与式に代入する．

$3$\displaystyle{x $ 6ax+2b $ + $ 3+x $ $ 3a{x}^{2}+2bx+c $ }$ $3$\displaystyle{- 3 $ a{x}^{3}+b{x}^{2}+cx+1 $ =0}$

$3$\displaystyle{ $ 15a- b $ {x}^{2}+2 $ 4b- c $ x+3 $ c- 1 $ =0}$ ･･････(4)

（４）がすべての $3$x$ で成り立つためには各項の係数が0でなければならない．よって

$3$\displaystyle{ \{\begin{array}{lll}15a- b=0& \vspace{6}\\ 4b- c=0& \vspace{6}\\ c- 1=0& \vspace{6}\\ \end{array} }$

の連立方程式が得られる．これを解くと

$3$\displaystyle{c=1}$ ， $3$\displaystyle{b=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}4\hspace{2}}}$ ， $3$\displaystyle{a=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} 60 \hspace{2}}}$

となる．したがって

$3$\displaystyle{f $x$ =\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} 60 \hspace{2}}{x}^{3}+\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}4\hspace{2}}{x}^{2}+x+1 }$

となる．

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最終更新日： 2024年9月24日