微分の計算問題

■問題

次の条件式を満たす $3$\displaystyle{a}$ ， $3$\displaystyle{b}$ を求めよ．

$3$\displaystyle{y={e}^{x}+{e}^{ - 2x }}$ ， $3$\displaystyle{{y}^{\prime\prime }+3a{y}^{\prime }+by=0}$

■答

$3$\displaystyle{a}$ $3$\displaystyle{=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}3\hspace{2}}}$ ， $3$\displaystyle{b}$ $3$\displaystyle{=- 2}$

■ヒント

第2次導関数を求め，代入して解く．

■解説

$3$\displaystyle{y={e}^{x}+{e}^{ - 2x }}$

$3$\displaystyle{{y}^{\prime }={e}^{x}- 2{e}^{ - 2x }}$

$3$\displaystyle{{y}^{\prime\prime }={e}^{x}+4{e}^{ - 2x }}$

これらを， $3$\displaystyle{{y}^{\prime\prime }+3a{y}^{\prime }+by=0}$ に代入する．

$3$\displaystyle{ $ {e}^{x}+4{e}^{ - 2x } $ +3a $ {e}^{x}- 2{e}^{ - 2x } $ +b $ {e}^{x}+{e}^{ - 2x } $ =0}$

$3$\displaystyle{{e}^{x}+4{e}^{ - 2x }+3a{e}^{x}- 6a{e}^{ - 2x }+b{e}^{x}+b{e}^{ - 2x }=0}$

$3$\displaystyle{ $ 1+3a+b $ {e}^{x}+ $ 4- 6a+b $ {e}^{ - 2x }=0}$

$3$\displaystyle{{e}^{x}\neq 0}$ ， $3$\displaystyle{{e}^{ - 2x }\neq 0}$ より上の方程式が変数 $3$x$ に対して常に成り立つためには， $3$\displaystyle{{e}^{x}}$ ， $3$\displaystyle{{e}^{ - 2x }}$ の係数が0でなければならない．すなわち，連立方程式

$3$\displaystyle{ \{\begin{array}{lll}1+3a+b=0& \vspace{6}\\ 4- 6a+b=0& \vspace{6}\\ \end{array} }$

が成り立たなくてはならない．この連立方程式を解くと

$3$\displaystyle{a=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}3\hspace{2}}}$ ， $3$\displaystyle{b=- 2}$

となる．

ホーム>>カテゴリー分類>>微分>>微分に関する演習問題>>微分の計算問題>>この問題

学生スタッフ作成

最終更新日： 2023年10月9日