微分の計算問題

■問題

次の条件式を満たす時，3次関数 $3$\displaystyle{ f $x$ }$ を求めよ．

$3$\displaystyle{f $0$ =4}$ ， $3$\displaystyle{f $1$ =10}$ ， $3$\displaystyle{{f}^{\prime } $2$ =23}$ ， $3$\displaystyle{{f}^{\prime\prime } $3$ =22}$

■答

$3$\displaystyle{f $x$ ={x}^{3}+2{x}^{2}+3x+4}$

■ヒント

$3$\displaystyle{f $x$ =a{x}^{3}+b{x}^{2}+cx+d}$ とおく．

■解説

$3$\displaystyle{f $x$ =a{x}^{3}+b{x}^{2}+cx+d}$

とおく．すると

$3$\displaystyle{{f}^{\prime } $x$ =3a{x}^{2}+2bx+c}$

$3$\displaystyle{{f}^{\prime\prime } $x$ =6ax+2b}$

となる．

題意より

$3$\displaystyle{ \hspace{5}f\hspace{5} $0$ =a\text{\hspace{1} }\cdot \text{\hspace{1} }{0}^{3}+b\text{\hspace{1} }\cdot \text{\hspace{1} }{0}^{2}+c\text{\hspace{1} }\cdot \text{\hspace{1} }0+d=4}$

$3$\displaystyle{f $1$ =a\text{\hspace{1} }\cdot \text{\hspace{1} }{1}^{3}+b\text{\hspace{1} }\cdot \text{\hspace{1} }{1}^{2}+c\text{\hspace{1} }\cdot \text{\hspace{1} }1+d=10}$

$3$\displaystyle{{\hspace{5}f\hspace{5}}^{\prime } $2$ =3a\text{\hspace{1} }\cdot \text{\hspace{1} }{2}^{2}+2b\text{\hspace{1} }\cdot \text{\hspace{1} }2+c=23}$

$3$\displaystyle{{f}^{\prime\prime } $3$ =6a\text{\hspace{1} }\cdot \text{\hspace{1} }3+2b=22}$

の関係式が得られる．すなわち

$3$\displaystyle{ \{\begin{array}{lll}d=4& \vspace{6}\\ a+b+c+d=10& \vspace{6}\\ 12a+4b+c=23& \vspace{6}\\ 18a+2b=22& \vspace{6}\\ \end{array} }$

の連立方程式が得られる．この連立方程式を解くと

$3$\displaystyle{a=1}$ ， $3$\displaystyle{b=2}$ ， $3$\displaystyle{c=3}$ ， $3$\displaystyle{d=4}$

となる．したがって，求める3次関数 $3$\displaystyle{f $x$ }$ は

$3$\displaystyle{f $x$ ={x}^{3}+2{x}^{2}+3x+4}$

である．

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最終更新日： 2023年10月9日