基本的な行列の問題

■問題

掃き出し法を用いて，次の連立方程式を解け．

$3$\displaystyle{ \left{{\begin{array} a- b- 2c+2d=4 & \vspace{6}\\ 2a+b- 3c- d=- 3 & \vspace{6}\\ - a+2b+2c- 2d=- 6 & \vspace{6}\\ 3a- 3b+c+d=7 & \vspace{6}\\ \end{array} }$

■答

$3$\displaystyle{ a=0 }$ ， $3$\displaystyle{ b=- 2 }$ ， $3$\displaystyle{ c=0 }$ ， $3$\displaystyle{ d=1 }$

■計算

$3$\displaystyle{ \left({ \begin{array}1& - 1 & - 2 &2& \vspace{6}\\ 2&1& - 3 & - 1 & \vspace{6}\\ - 1 &2&2& - 2 & \vspace{6}\\ 3& - 3 &1&1& \vspace{6}\\ \end{array}\left({\begin{array}4& \vspace{6}\\ - 3 & \vspace{6}\\ - 6 & \vspace{6}\\ 7& \vspace{6}\\ \end{array}}\right) }\right) }$

行基本変形を用いて2行-1行×2，3行+1行，4行-1行×3の計算をする．

$3$\displaystyle{ \rightarrow \left({ \begin{array}1& - 1 & - 2 &2& \vspace{6}\\ 0&3&1& - 5 & \vspace{6}\\ 0&1&0&0& \vspace{6}\\ 0&0&7& - 5 & \vspace{6}\\ \end{array}\left({\begin{array}4& \vspace{6}\\ - 11 & \vspace{6}\\ - 2 & \vspace{6}\\ - 5 & \vspace{6}\\ \end{array}}\right) }\right) }$

行基本変形を用いて１行+3行，2行-3行×2の計算をする．

$3$\displaystyle{ \rightarrow \left({ \begin{array}1&0& - 2 &2& \vspace{6}\\ 0&1&1& - 5 & \vspace{6}\\ 0&1&0&0& \vspace{6}\\ 0&0&7& - 5 & \vspace{6}\\ \end{array}\left({\begin{array}2& \vspace{6}\\ - 7 & \vspace{6}\\ - 2 & \vspace{6}\\ - 5 & \vspace{6}\\ \end{array}}\right) }\right) }$

行基本変形を用いて3行-2行の計算をする．

$3$\displaystyle{ \rightarrow \left({ \begin{array}1&0& - 2 &2& \vspace{6}\\ 0&1&1& - 5 & \vspace{6}\\ 0&0& - 1 &5& \vspace{6}\\ 0&0&7& - 5 & \vspace{6}\\ \end{array}\left({\begin{array}2& \vspace{6}\\ - 7 & \vspace{6}\\ 5& \vspace{6}\\ - 5 & \vspace{6}\\ \end{array}}\right) }\right) }$

3行目の成分を-1で割ることで3行3列目の数字を1にする．

$3$\displaystyle{ \rightarrow \left({ \begin{array}1&0& - 2 &2& \vspace{6}\\ 0&1&1& - 5 & \vspace{6}\\ 0&0&1& - 5 & \vspace{6}\\ 0&0&7& - 5 & \vspace{6}\\ \end{array}\left({\begin{array}2& \vspace{6}\\ - 7 & \vspace{6}\\ - 5 & \vspace{6}\\ - 5 & \vspace{6}\\ \end{array}}\right) }\right) }$

行基本変形を用いて1行+3行×2，2行-3行，4行-3行×7の計算をする．

$3$\displaystyle{ \rightarrow \left({ \begin{array}1&0&0&- 8& \vspace{6}\\ 0&1&0& 0 & \vspace{6}\\ 0&0&1&- 5& \vspace{6}\\ 0&0&0&30& \vspace{6}\\ \end{array}\left({\begin{array}- 8& \vspace{6}\\ - 2 & \vspace{6}\\ - 5& \vspace{6}\\ 30& \vspace{6}\\ \end{array}}\right) }\right) }$

4行目の成分がともに30なので30で割り，4行4列目の数字を1にする．

$3$\displaystyle{ \rightarrow \left({ \begin{array}1&0&0&- 8& \vspace{6}\\ 0&1&0& 0 & \vspace{6}\\ 0&0&1&- 5& \vspace{6}\\ 0&0&0&1& \vspace{6}\\ \end{array}\left({\begin{array}- 8& \vspace{6}\\ - 2 & \vspace{6}\\ - 5& \vspace{6}\\ 1& \vspace{6}\\ \end{array}}\right) }\right) }$

行基本変形を用いて1行+4行×8，3行+4行×5の計算をする．

$3$\displaystyle{ \rightarrow \left({ \begin{array}1&0&0&0& \vspace{6}\\ 0&1&0&0& \vspace{6}\\ 0&0&1&0& \vspace{6}\\ 0&0&0&1& \vspace{6}\\ \end{array}\left({\begin{array}0& \vspace{6}\\ - 2 & \vspace{6}\\ 0& \vspace{6}\\ 1& \vspace{6}\\ \end{array}}\right) }\right) }$

よって，答えは

$3$\displaystyle{ a=0 }$ ， $3$\displaystyle{ b=- 2 }$ ， $3$\displaystyle{ c=0 }$ ， $3$\displaystyle{ d=1 }$

となる．

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作成：学生スタッフ

最終更新日： 2022年8月27日