基本的な行列の問題

■問題

掃き出し法を用いて，次の連立方程式を解け．

$3$\displaystyle{ \left{{\begin{array} a+b- 2c- 2d=- 5 & \vspace{6}\\ 2a- 2b+c- d=8 & \vspace{6}\\ - a+b- c+2d=- 5 & \vspace{6}\\ - 2a- b+c- 3d=2 & \vspace{6}\\ \end{array} }$

■答

$3$\displaystyle{ a=1 }$ ， $3$\displaystyle{ b=- 2 }$ ， $3$\displaystyle{ c=2 }$ ， $3$\displaystyle{ d=0 }$

■計算

$3$\displaystyle{ \left({ \begin{array}1&1& - 2 & - 2 & \vspace{6}\\ 2& - 2 &1& - 1 & \vspace{6}\\ - 1 &1& - 1 &2& \vspace{6}\\ - 2 & - 1 &1& - 3 & \vspace{6}\\ \end{array}\left({\begin{array} - 5 & \vspace{6}\\ 8& \vspace{6}\\ - 5 & \vspace{6}\\ 2& \vspace{6}\\ \end{array}}\right) }\right) }$

行基本変形を用いて2行-1行×2，3行+1行，4行+1行×2の計算をする．

$3$\displaystyle{ \rightarrow \left({ \begin{array}1&1& - 2 & - 2 & \vspace{6}\\ 0& - 4 &5&3& \vspace{6}\\ 0&2& - 3 &0& \vspace{6}\\ 0&1& - 3 & - 7 & \vspace{6}\\ \end{array}\left({\begin{array} - 5 & \vspace{6}\\ 18& \vspace{6}\\ - 10 & \vspace{6}\\ - 8 & \vspace{6}\\ \end{array}}\right) }\right) }$

2行2列目の成分を1にするために，行基本変形を用いて2行目と4行目を入れ替える．

$3$\displaystyle{\displaystyle{\rightarrow \left({ \begin{array}1&1& - 2 & - 2 & \vspace{6}\\ 0&1& - 3 & - 7 & \vspace{6}\\ 0&2& - 3 &0& \vspace{6}\\ 0& - 4 &5&3& \vspace{6}\\ \end{array}\left({\begin{array} - 5 & \vspace{6}\\ - 8 & \vspace{6}\\ - 10 & \vspace{6}\\ 18& \vspace{6}\\ \end{array}}\right) }\right)}}$

行基本変形を用いて1行-2行，3行-2行×2，4行+2行×4の計算をする．

$3$\displaystyle{ \rightarrow \left({ \begin{array}1&0&1&5& \vspace{6}\\ 0&1& - 3 & - 7 & \vspace{6}\\ 0&0&3&14& \vspace{6}\\ 0&0& - 7 & - 25 & \vspace{6}\\ \end{array}\left({\begin{array}3& \vspace{6}\\ - 8 & \vspace{6}\\ 6& \vspace{6}\\ - 14 & \vspace{6}\\ \end{array}}\right) }\right) }$

行基本変形を用いて4行+3行×2の計算をする．

$3$\displaystyle{\displaystyle{\rightarrow \left({ \begin{array}1&0&1&5& \vspace{6}\\ 0&1& - 3 & - 7 & \vspace{6}\\ 0&0&3&14& \vspace{6}\\ 0&0& - 1 &3& \vspace{6}\\ \end{array}\left({\begin{array}3& \vspace{6}\\ - 8 & \vspace{6}\\ 6& \vspace{6}\\ - 2 & \vspace{6}\\ \end{array}}\right) }\right)}}$

4行目に-1を掛ける．

$3$\displaystyle{\displaystyle{\rightarrow \left({ \begin{array}1&0&1&5& \vspace{6}\\ 0&1& - 3 & - 7 & \vspace{6}\\ 0&0&3&14& \vspace{6}\\ 0&0&1& - 3 & \vspace{6}\\ \end{array}\left({\begin{array}3& \vspace{6}\\ - 8 & \vspace{6}\\ 6& \vspace{6}\\ 2& \vspace{6}\\ \end{array}}\right) }\right)}}$

3行3列目の成分を1にするために，行基本変形を用いて3行目と4行目を入れ替える．

$3$\displaystyle{ \rightarrow \left({ \begin{array}1&0&1&5& \vspace{6}\\ 0&1& - 3 & - 7 & \vspace{6}\\ 0&0&1& - 3 & \vspace{6}\\ 0&0&3&14& \vspace{6}\\ \end{array}\left({\begin{array}3& \vspace{6}\\ - 8 & \vspace{6}\\ 2& \vspace{6}\\ 6& \vspace{6}\\ \end{array}}\right) }\right) }$

行基本変形を用いて1行-3行，2行+3行×3，4行-3行×3の計算をする．

$3$\displaystyle{\displaystyle{\rightarrow \left({ \begin{array}1&0&0&8& \vspace{6}\\ 0&1&0& - 16 & \vspace{6}\\ 0&0&1& - 3 & \vspace{6}\\ 0&0&0&23& \vspace{6}\\ \end{array}\left({\begin{array}1& \vspace{6}\\ - 2 & \vspace{6}\\ 2& \vspace{6}\\ 0& \vspace{6}\\ \end{array}}\right) }\right)}}$

4行4列目を1にするために23で割る．

$3$\displaystyle{\displaystyle{\rightarrow \left({ \begin{array}1&0&0&8& \vspace{6}\\ 0&1&0& - 16 & \vspace{6}\\ 0&0&1& - 3 & \vspace{6}\\ 0&0&0&1& \vspace{6}\\ \end{array}\left({\begin{array}1& \vspace{6}\\ - 2 & \vspace{6}\\ 2& \vspace{6}\\ 0& \vspace{6}\\ \end{array}}\right) }\right)}}$

行基本変形を用いて1行-4行×8，2行+4行×16，3行+4行×3の計算をする．

$3$\displaystyle{\displaystyle{\displaystyle{\rightarrow \left({ \begin{array}1&0&0&0& \vspace{6}\\ 0&1&0&0& \vspace{6}\\ 0&0&1&0& \vspace{6}\\ 0&0&0&1& \vspace{6}\\ \end{array}\left({\begin{array}1& \vspace{6}\\ - 2 & \vspace{6}\\ 2& \vspace{6}\\ 0& \vspace{6}\\ \end{array}}\right) }\right)}}}$

よって，答えは

$3$\displaystyle{ a=1 }$ ， $3$\displaystyle{ b=- 2 }$ ， $3$\displaystyle{ c=2 }$ ， $3$\displaystyle{ d=0 }$

となる．

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作成：学生スタッフ

最終更新日： 2022年8月27日