基本的な行列の問題

■問題

掃き出し法を用いて，次の連立方程式を解け．

$3$\displaystyle{\displaystyle{\left{{\begin{array} a+ 2b+ d- e=- 4 & \vspace{6}\\ - a- b- c+ d=3 & \vspace{6}\\ - 2b+ 2c+ d- e=- 1 & \vspace{6}\\ a+ b+ c- 2d+ e=- 2 & \vspace{6}\\ a- b- 2c+ 2e=9 & \vspace{6}\\ \end{array}}}$

■答

$3$\displaystyle{ a=1 }$ ， $3$\displaystyle{ b=- 2 }$ ， $3$\displaystyle{ c=- 2 }$ ， $3$\displaystyle{ d=0 }$ ， $3$\displaystyle{ e=1 }$

■計算

$3$\displaystyle{ \left({ \begin{array}1&2&0&1& - 1 & \vspace{6}\\ - 1 & - 1 & - 1 &1&0& \vspace{6}\\ 0& - 2 &2&1& - 1 & \vspace{6}\\ 1&1&1& - 2 &1& \vspace{6}\\ 1& - 1 & - 2 &0&2& \vspace{6}\\ \end{array}\left({\begin{array} - 4 & \vspace{6}\\ 3& \vspace{6}\\ - 1 & \vspace{6}\\ - 2 & \vspace{6}\\ 9& \vspace{6}\\ \end{array}}\right) }\right) }$

行基本変形を用いて2行+1行，4行-1行，5行-1行の計算をする．

$3$\displaystyle{ \rightarrow \left({ \begin{array}1&2&0&1& - 1 & \vspace{6}\\ 0&1& - 1 &2& - 1 & \vspace{6}\\ 0& - 2 &2&1& - 1 & \vspace{6}\\ 0& - 1 &1& - 3 &2& \vspace{6}\\ 0& - 3 & - 2 & - 1 &3& \vspace{6}\\ \end{array}\left({\begin{array} - 4 & \vspace{6}\\ - 1 & \vspace{6}\\ - 1 & \vspace{6}\\ 2& \vspace{6}\\ 13& \vspace{6}\\ \end{array}}\right) }\right) }$

行基本変形を用いて1行-2行×2，3行+2行×2，4行+2行，5行+2行×3の計算をする．

$3$\displaystyle{ \rightarrow \left({ \begin{array}1&0&2& - 3 &1& \vspace{6}\\ 0&1& - 1 &2& - 1 & \vspace{6}\\ 0&0&0&5& - 3 & \vspace{6}\\ 0&0&0& - 1 &1& \vspace{6}\\ 0&0& - 5 &5&0& \vspace{6}\\ \end{array}\left({\begin{array} - 2 & \vspace{6}\\ - 1 & \vspace{6}\\ - 3 & \vspace{6}\\ 1& \vspace{6}\\ 10& \vspace{6}\\ \end{array}}\right) }\right) }$

5行目を-5で割る．

$3$\displaystyle{ \rightarrow \left({ \begin{array}1&0&2& - 3 &1& \vspace{6}\\ 0&1& - 1 &2& - 1 & \vspace{6}\\ 0&0&0&5& - 3 & \vspace{6}\\ 0&0&0& - 1 &1& \vspace{6}\\ 0&0&1& - 1 &0& \vspace{6}\\ \end{array}\left({\begin{array} - 2 & \vspace{6}\\ - 1 & \vspace{6}\\ - 3 & \vspace{6}\\ 1& \vspace{6}\\ - 2 & \vspace{6}\\ \end{array}}\right) }\right) }$

3行3列目を1にするために行基本変形を用いて2行目と5行目を入れ替える．ｓ

$3$\displaystyle{ \rightarrow \left({ \begin{array}1&0&2& - 3 &1& \vspace{6}\\ 0&1& - 1 &2& - 1 & \vspace{6}\\ 0&0&1& - 1 &0& \vspace{6}\\ 0&0&0& - 1 &1& \vspace{6}\\ 0&0&0&5& - 3 & \vspace{6}\\ \end{array}\left({\begin{array} - 2 & \vspace{6}\\ - 1 & \vspace{6}\\ - 2 & \vspace{6}\\ 1& \vspace{6}\\ - 3 & \vspace{6}\\ \end{array}}\right) }\right) }$

行基本変形を用いて1行-3行×2，2行+3行の計算をする．

$3$\displaystyle{ \rightarrow \left({ \begin{array}1&0&0& - 1 &1& \vspace{6}\\ 0&1&0&1& - 1 & \vspace{6}\\ 0&0&1& - 1 &0& \vspace{6}\\ 0&0&0& - 1 &1& \vspace{6}\\ 0&0&0&5& - 3 & \vspace{6}\\ \end{array}\left({\begin{array}2& \vspace{6}\\ - 3 & \vspace{6}\\ - 2 & \vspace{6}\\ 1& \vspace{6}\\ - 3 & \vspace{6}\\ \end{array}}\right) }\right) }$

4行4列目を1にするために4行目に-1を掛ける．

$3$\displaystyle{ \rightarrow \left({ \begin{array}1&0&0& - 1 &1& \vspace{6}\\ 0&1&0&1& - 1 & \vspace{6}\\ 0&0&1& - 1 &0& \vspace{6}\\ 0&0&0&1& - 1 & \vspace{6}\\ 0&0&0&5& - 3 & \vspace{6}\\ \end{array}\left({\begin{array}2& \vspace{6}\\ - 3 & \vspace{6}\\ - 2 & \vspace{6}\\ - 1 & \vspace{6}\\ - 3 & \vspace{6}\\ \end{array}}\right) }\right) }$

行基本変形を用いて1行+4行，2行-4行，3行+4行，5行-4行×5の計算をする．

$3$\displaystyle{ \rightarrow \left({ \begin{array}1&0&0&0&0& \vspace{6}\\ 0&1&0&0&0& \vspace{6}\\ 0&0&1&0& - 1 & \vspace{6}\\ 0&0&0&1& - 1 & \vspace{6}\\ 0&0&0&0&2& \vspace{6}\\ \end{array}\left({\begin{array}1& \vspace{6}\\ - 2 & \vspace{6}\\ - 3 & \vspace{6}\\ - 1 & \vspace{6}\\ 2& \vspace{6}\\ \end{array}}\right) }\right) }$

5行5列目を1にするために5行目を2で割る．

$3$\displaystyle{ \rightarrow \left({ \begin{array}1&0&0&0&0& \vspace{6}\\ 0&1&0&0&0& \vspace{6}\\ 0&0&1&0& - 1 & \vspace{6}\\ 0&0&0&1& - 1 & \vspace{6}\\ 0&0&0&0&1& \vspace{6}\\ \end{array}\left({\begin{array}1& \vspace{6}\\ - 2 & \vspace{6}\\ - 3 & \vspace{6}\\ - 1 & \vspace{6}\\ 1& \vspace{6}\\ \end{array}}\right) }\right) }$

行基本変形を用いて3行+5行，4行+5行の計算をする．

$3$\displaystyle{ \rightarrow \left({ \begin{array}1&0&0&0&0& \vspace{6}\\ 0&1&0&0&0& \vspace{6}\\ 0&0&1&0&0& \vspace{6}\\ 0&0&0&1&0& \vspace{6}\\ 0&0&0&0&1& \vspace{6}\\ \end{array}\left({\begin{array}1& \vspace{6}\\ - 2 & \vspace{6}\\ - 2 & \vspace{6}\\ 0& \vspace{6}\\ 1& \vspace{6}\\ \end{array}}\right) }\right) }$

よって，答えは

$3$\displaystyle{ a=1 }$ ， $3$\displaystyle{ b=- 2 }$ ， $3$\displaystyle{ c=- 2 }$ ， $3$\displaystyle{ d=0 }$ ， $3$\displaystyle{ e=1 }$

となる．

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作成：学生スタッフ

最終更新日： 2022年6月16日