基本的な行列の問題

■問題

以下の連立方程式が $3$\displaystyle{ x=y=0 }$ 以外の解をもつように，定数 $3$\displaystyle{k}$ の値を求めよ．

$3$\displaystyle{ \left{{\begin{array} - x+$2- 3k$y=0 & \vspace{6}\\ x- 2ky=0 & \vspace{6}\\ \end{array} }$

■答

$3$\displaystyle{ k=\frac{\hspace{2}2\hspace{2}}{\hspace{2}5\hspace{2}} }$

■解説

$3$\displaystyle{\displaystyle{A=\left({\begin{array} - 1 & 2- 3k & \vspace{6}\\ 1& - 2k & \vspace{6}\\ \end{array}}\right)}}$ ， $3$\displaystyle{ X=\left({\begin{array}x& \vspace{6}\\ y& \vspace{6}\\ \end{array}}\right) }$ ， $3$\displaystyle{ \displaystyle{0}=\left({\begin{array}0& \vspace{6}\\ 0& \vspace{6}\\ \end{array}}\right) }$ とおくと，連立方程式は

$3$\displaystyle{ AX=\displaystyle{0} }$ 　･･････(1)

と表される．

$3$\displaystyle{A}$ の逆行列 $3$\displaystyle{ {A}^{ - 1 } }$ が存在するとすると仮定した場合

(1)の両辺に $3$\displaystyle{ {A}^{ - 1 } }$ を左からかけると

$3$\displaystyle{{A}^{ - 1 }\left({ AX }\right)={A}^{ - 1 }\displaystyle{0}}$

となり

$3$\displaystyle{ X=\displaystyle{0} }$ ，すなわち， $3$\displaystyle{x=y=0}$

が連立方程式の解となってしまう．

したがって， $3$\displaystyle{x=y=0}$ 以外の解をもつときは， $3$\displaystyle{A}$ は逆行列をもたない．

言い換えると， $3$\displaystyle{\left|{A}\right|=0}$ の場合である．

したがって

$3$\displaystyle{ \left({A}\right) }$ $3$\displaystyle{ =- 1\times \left({ - 2k }\right)- $2- 3k$ }$ $3$\displaystyle{ =2k- 2+3k }$ $3$\displaystyle{ =5k- 2 }$ $3$\displaystyle{=0}$

$3$\displaystyle{ k=\frac{\hspace{2}2\hspace{2}}{\hspace{2}5\hspace{2}} }$

となる．このとき方程式は

$3$\displaystyle{ \left{{\begin{array} - x+\frac{\hspace{2}4\hspace{2}}{\hspace{2}5\hspace{2}}y=0 & \vspace{6}\\ x- \frac{\hspace{2}4\hspace{2}}{\hspace{2}5\hspace{2}}y=0 & \vspace{6}\\ \end{array} }$

つまり

$3$\displaystyle{ x- \frac{\hspace{2}4\hspace{2}}{\hspace{2}5\hspace{2}}y=0 }$ 　･･････(2)

となる．

$3$\displaystyle{y=5c}$ 　( $3$\displaystyle{c}$ は任意定数)とおくと

$3$\displaystyle{\left({ \begin{array}x& \vspace{6}\\ y& \vspace{6}\\ \end{array} }\right)=\left({ \begin{array} 4c & \vspace{6}\\ 5c & \vspace{6}\\ \end{array} }\right)=c\left({ \begin{array}4& \vspace{6}\\ 5& \vspace{6}\\ \end{array} }\right)}$

となり， $3$\displaystyle{\left({ \begin{array}x& \vspace{6}\\ y& \vspace{6}\\ \end{array} }\right)=\left({ \begin{array}0& \vspace{6}\\ 0& \vspace{6}\\ \end{array} }\right)}$ 以外の解は無数に存在する．

以上より， $3$\displaystyle{ k=\frac{\hspace{2}2\hspace{2}}{\hspace{2}5\hspace{2}} }$ は条件を満たしている．　

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作成：学生スタッフ

最終更新日： 2022年9月7日