基本的な行列の問題

■問題

２次正方行列 $3$\displaystyle{ A=\left({\begin{array}a&b& \vspace{6}\\ c&d& \vspace{6}\\ \end{array}}\right) }$ に対して， $3$\displaystyle{ T\left({A}\right)=a+d }$ ， $3$\displaystyle{ {\Delta}\left({A}\right)=ad- bc }$ とおく．

・ $3$\displaystyle{ T\left({{A}^{2}}\right) }$ を $3$\displaystyle{ T\left({A}\right) }$ と $3$\displaystyle{ {\Delta}\left({A}\right) }$ を用いて表わせ．

・ $3$\displaystyle{A}$ が $3$\displaystyle{ {\Delta}\left({A}\right)=1 }$ かつ $3$\displaystyle{ {A}^{4}=E }$ を満たすとする．

(1) $3$\displaystyle{ T\left({A}\right) }$ の値をすべて求めよ．

(2) $3$\displaystyle{ T\left({A}\right)\neq 0 }$ となる $3$\displaystyle{A}$ をすべて求めよ．

■答

$3$\displaystyle{T\left({ {A}^{2} }\right)={\left{{ T\left({A}\right) }\right}}^{2}- 2{\Delta}\left({A}\right)}$

(1) $3$\displaystyle{ T\left({A}\right)=0,\pm 2 }$

(2) $3$\displaystyle{ A=\left({\begin{array}1&0& \vspace{6}\\ 0&1& \vspace{6}\\ \end{array}}\right),\left({\begin{array} - 1 &0& \vspace{6}\\ 0& - 1 & \vspace{6}\\ \end{array}}\right) }$

■計算

・ $3$\displaystyle{ T\left({{A}^{2}}\right) }$ を $3$\displaystyle{ T\left({A}\right) }$ と $3$\displaystyle{ {\Delta}\left({A}\right) }$ を用いて表わせ．

$3$\displaystyle{ {A}^{2} }$ $3$\displaystyle{ =\left({\begin{array}a&b& \vspace{6}\\ c&d& \vspace{6}\\ \end{array}}\right)\left({\begin{array}a&b& \vspace{6}\\ c&d& \vspace{6}\\ \end{array}}\right) }$ $3$\displaystyle{ =\left({\begin{array} {a}^{2}+bc & ab+bd & \vspace{6}\\ ac+cd & bc+{d}^{2} & \vspace{6}\\ \end{array}}\right) }$

よって

$3$\displaystyle{ T\left({{A}^{2}}\right) }$ $3$\displaystyle{ ={a}^{2}+{d}^{2}+2bc }$

$3$\displaystyle{ ={\left({ a+d }\right)}^{2}+2\left({ bc- ad }\right) }$

$3$\displaystyle{ { =\left{{ T\left({A}\right) }\right} }^{2}- 2{\Delta}\left({A}\right) }$

・ $3$\displaystyle{A}$ が $3$\displaystyle{ {\Delta}\left({A}\right)=1 }$ かつ $3$\displaystyle{ {A}^{4}=E }$ を満たすとする．

(1) $3$\displaystyle{ {\Delta}\left({A}\right)=1 }$ ， $3$\displaystyle{ {A}^{4}=E }$ から

$3$\displaystyle{ T\left({{A}^{4}}\right)=T\left({E}\right)=2 }$ 　･･････(i)

ここで， $3$\displaystyle{ T\left({A}\right)=t }$ とおくと

$3$\displaystyle{ T\left({{A}^{4}}\right) }$ $3$\displaystyle{ =T\left({{\left({{A}^{2}}\right)}^{2}}\right) }$

$3$\displaystyle{ ={\left{{ T\left({{A}^{2}}\right) }\right}}^{2}- 2{\Delta}\left({{A}^{2}}\right) }$

$3$\displaystyle{ ={\left[{ {\left{{ T\left({A}\right) }\right}}^{2}- 2{\Delta}\left({A}\right) }\right]}^{2}- 2{\left{{ {\Delta}\left({A}\right) }\right}}^{2} }$

$3$\displaystyle{{\Delta}\left({A}\right)=1}$ ， $3$\displaystyle{T\left({A}\right)=t}$ を代入する．

$3$\displaystyle{ ={\left({ {t}^{2}- 2 }\right)}^{2}- 2 }$ 　･･････(ii)

(i)，(ii)より

$3$\displaystyle{ {\left({ {t}^{2}- 2 }\right)}^{2}- 2=2 }$

よって

$3$\displaystyle{ {t}^{2}- 2=\pm 2 }$

ゆえに

$3$\displaystyle{ t=0,\pm 2 }$

すなわち

$3$\displaystyle{ T\left({A}\right)=0,\pm 2 }$

(2) $3$\displaystyle{ t=2 }$ のときケーリー・ハミルトンの定理により

$3$\displaystyle{ {A}^{2}- 2A+E=0 }$

よって

$3$\displaystyle{ {A}^{2}=2A- E }$ 　･･････(iii)

これを $3$\displaystyle{ {A}^{4}=E }$ に代入すると

$3$\displaystyle{ {\left({ 2A- E }\right)}^{2}=E }$

よって

$3$\displaystyle{ 4{A}^{2}- 4A+E=E }$

ゆえに

$3$\displaystyle{ {A}^{2}=A }$

(iii)に代入して $3$\displaystyle{ A=E }$

$3$\displaystyle{ t=- 2 }$ のとき

$3$\displaystyle{ {A}^{2}+2A+E=0 }$

よって

$3$\displaystyle{ {A}^{2}=- 2A- E }$ 　･･････(iv)

これを $3$\displaystyle{ {A}^{4}=E }$ に代入して

$3$\displaystyle{ 4{A}^{2}+4A+E=E }$

ゆえに

$3$\displaystyle{ {A}^{2}=- A }$

(iv)に代入して $3$\displaystyle{ A=- E }$

以上より

$3$\displaystyle{ A=\left({\begin{array}1&0& \vspace{6}\\ 0&1& \vspace{6}\\ \end{array}}\right),\left({\begin{array} - 1 &0& \vspace{6}\\ 0& - 1 & \vspace{6}\\ \end{array}}\right) }$

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作成：学生スタッフ

最終更新日： 2024年10月7日