２変数関数の極値の問題

■問題

$3$\displaystyle{ f $ x,y $ =2{x}^{3}- 2{y}^{2}- 2xy }$ の極値を求めよ．

■答

■ヒント

■解き方

$3$\displaystyle{\hspace{1}{f}_{x} $ x,y $ =6{x}^{2}- 2y}$ ， $3$\displaystyle{\hspace{1}{f}_{y} $ x,y $ =- 4y- 2x}$ より，連立方程式

$3$\displaystyle{ \{ \begin{array} 6{x}^{2}- 2y=0 & \vspace{6}\\ - 4y- 2x=0 & \vspace{6}\\ \end{array} }$

を解くと， $3$\displaystyle{ x=0 }$ ， $3$\displaystyle{y=0}$ ，または $3$\displaystyle{x=- \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}6\hspace{2}}}$ ， $3$\displaystyle{y=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} 12 \hspace{2}}}$ を得る．

ところで，

$3$\displaystyle{A=\hspace{1}{f}_{ xx } $ x,y $ =12x}$ ， $3$\displaystyle{B=\hspace{1}{f}_{ xy } $ x,y $ =- 2}$ ， $3$\displaystyle{C=\hspace{1}{f}_{ yy } $ x,y $ =- 4}$ より

$3$\displaystyle{D={B}^{2}- AC=4+48x=4$1+12x$}$

となる．したがって

$3$\displaystyle{x=0}$ ， $3$\displaystyle{y=0}$ のとき， $3$\displaystyle{D=4> 0}$ となり極値をとらない．

$3$\displaystyle{x=- \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}6\hspace{2}}}$ ， $3$\displaystyle{y=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} 12 \hspace{2}}}$ のとき， $3$\displaystyle{D=- 4< 0}$ ， $3$\displaystyle{A=- 2< 0}$ だから，このとき $3$\displaystyle{f $ - \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}6\hspace{2}},\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} 12 \hspace{2}} $ =\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} 216 \hspace{2}}}$ は極大値である．

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最終更新日： 2024年5月28日