極限の計算問題

■問題

次の極限を求めよ．

$3$\displaystyle{ { \lim }\limits_{ x\rightarrow \infty }\frac{\hspace{2} {2}^{x}+\cos x \hspace{2}}{\hspace{2} {2}^{x} \hspace{2}} }$

■答

$3$\displaystyle{1}$

■ヒント

与式を次のように変形すると

$3$\displaystyle{ { \lim }\limits_{ x\rightarrow \infty }\frac{\hspace{2} {2}^{x}+\cos x \hspace{2}}{\hspace{2} {2}^{x} \hspace{2}} }$ $3$\displaystyle{ ={ \lim }\limits_{ x\rightarrow \infty }\left({ 1+\frac{\hspace{2} \cos x \hspace{2}}{\hspace{2} {2}^{x} \hspace{2}} }\right) }$

あとははさみうちの原理を用いれば良い．

■解き方

与式を次のように変形すると

実数 $3$\displaystyle{x}$ において $3$\displaystyle{\cos x}$ の値域は

$3$\displaystyle{- 1\leq \cos x\leq 1}$

$3$\displaystyle{{2}^{x}> 0}$ より不等式の各辺を $3$\displaystyle{{2}^{x}}$ で割ると

$3$\displaystyle{- \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} {2}^{x} \hspace{2}}\leq \frac{\hspace{2} \cos x \hspace{2}}{\hspace{2} {2}^{x} \hspace{2}}\leq \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} {2}^{x} \hspace{2}}}$

右側の極限値は

$3$\displaystyle{{ \lim }\limits_{ x\rightarrow \infty }\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} {2}^{x} \hspace{2}}=0}$

左側の極限値は

$3$\displaystyle{{ \lim }\limits_{ x\rightarrow \infty }\left({ - \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} {2}^{x} \hspace{2}} }\right)=0}$

はさみうちの原理より

$3$\displaystyle{{ \lim }\limits_{ x\rightarrow \infty }\frac{\hspace{2} \cos x \hspace{2}}{\hspace{2} {2}^{x} \hspace{2}}=0}$

となる．

よって求める極限値は

$3$\displaystyle{{ \lim }\limits_{ x\rightarrow \infty }\left({ 1+\frac{\hspace{2} \cos x \hspace{2}}{\hspace{2} {2}^{x} \hspace{2}} }\right)}$ $3$\displaystyle{=1+0}$ $3$\displaystyle{=1}$

したがって求める極限値は

$3$\displaystyle{1}$

となる．

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最終2026年6月10日