べき級数に展開する問題

■問題

$3$\displaystyle{x\sin 2x}$

■ヒント

$3$\displaystyle{\sin x=x- \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} 3! \hspace{2}}{x}^{3}+\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} 5! \hspace{2}}{x}^{5}- \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} 7! \hspace{2}}{x}^{7}}$ $3$\displaystyle{+\cdots }$

を用いる．

■答

$3$\displaystyle{\sin x}$ のマクローリン展開の公式の $3$\displaystyle{x}$ に $3$\displaystyle{2x}$ を代入して

$3$\displaystyle{\sin 2x=\left({ 2x }\right)- \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} 3! \hspace{2}}{\left({ 2x }\right)}^{3}+\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} 5! \hspace{2}}{\left({ 2x }\right)}^{5}}$ $3$\displaystyle{- \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} 7! \hspace{2}}{\left({ 2x }\right)}^{7}}$ $3$\displaystyle{+\cdots }$

$3$\displaystyle{=2x- \frac{\hspace{2} {2}^{3} \hspace{2}}{\hspace{2} 3! \hspace{2}}{x}^{3}+\frac{\hspace{2} {2}^{5} \hspace{2}}{\hspace{2} 5! \hspace{2}}{x}^{5}- \frac{\hspace{2} {2}^{7} \hspace{2}}{\hspace{2} 7! \hspace{2}}{x}^{7}+\cdots }$

であるから，両辺に $3$\displaystyle{x}$ をかけて

$3$\displaystyle{x\sin 2x=2{x}^{2}- \frac{\hspace{2} {2}^{3} \hspace{2}}{\hspace{2} 3! \hspace{2}}{x}^{4}+\frac{\hspace{2} {2}^{5} \hspace{2}}{\hspace{2} 5! \hspace{2}}{x}^{6}- \frac{\hspace{2} {2}^{7} \hspace{2}}{\hspace{2} 7! \hspace{2}}{x}^{8}}$ $3$\displaystyle{+\cdots }$

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学生スタッフ作成
最終更新日： 2022年6月2日