逆三角関数の問題

■問題

$3$\displaystyle{ \sin \left({ { \tan }^{ - 1 }\frac{\hspace{2}3\hspace{2}}{\hspace{2}4\hspace{2}} }\right) }$ の値を求めよ

■解説動画

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■答

$3$\displaystyle{\frac{\hspace{2}3\hspace{2}}{\hspace{2}5\hspace{2}}}$

■ヒント

直角三角形からアークタンジェント（逆正接関数）の値を読み取り， $3$\displaystyle{\sin }$ を導き出す．

■解答

$3$\displaystyle{{\theta}={\tan }^{ - 1 }\frac{\hspace{2}3\hspace{2}}{\hspace{2}4\hspace{2}}\text{\hspace{1} }}$

とおくと

$3$\displaystyle{\tan {\theta}=\frac{\hspace{2}3\hspace{2}}{\hspace{2}4\hspace{2}}}$ 　･･････(1)

となる．(1)の関係を単位円を使って描くと図のようになる．

$3$\displaystyle{\text{OQ}=1}$ ， $3$\displaystyle{\text{PQ}=\frac{\hspace{2}3\hspace{2}}{\hspace{2}4\hspace{2}}}$

より

$3$\displaystyle{\text{OP}=\sqrt{ { \text{OQ} }^{2}+{ \text{PQ} }^{2} }}$ $3$\displaystyle{=\sqrt{ { \left({ \frac{\hspace{2}3\hspace{2}}{\hspace{2}4\hspace{2}} }\right) }^{2}+{1}^{2} }}$ $3$\displaystyle{=\frac{\hspace{2}5\hspace{2}}{\hspace{2}4\hspace{2}}}$

となる．

$3$\displaystyle{ \sin \left({ { \tan }^{ - 1 }\frac{\hspace{2}3\hspace{2}}{\hspace{2}4\hspace{2}} }\right) }$ $3$\displaystyle{=\sin {\theta}}$ $3$\displaystyle{=\frac{\hspace{2} \text{PQ} \hspace{2}}{\hspace{2} \text{OP} \hspace{2}}}$ $3$\displaystyle{=\frac{\hspace{2} \frac{\hspace{2}3\hspace{2}}{\hspace{2}4\hspace{2}} \hspace{2}}{\hspace{2} \text{ }\frac{\hspace{2}5\hspace{2}}{\hspace{2}4\hspace{2}}\text{ } \hspace{2}}}$
TeXに変換設定していない数学記号や，特殊文字が含まれています。今後直していきます。
$3$\displaystyle{=\frac{\hspace{2}3\hspace{2}}{\hspace{2}5\hspace{2}}}$

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最終更新日： 2025年4月27日