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部分分数の分解

■問題

次の部分分数を分解しなさい．

$3$\displaystyle{\frac{\hspace{2}7\hspace{2}}{\hspace{2} {x}^{2}+3x- 10 \hspace{2}}}$

■答

$3$\displaystyle{\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} x- 2 \hspace{2}}- \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} x+5 \hspace{2}}}$

■解き方

分母を因数分解すると

$3$\displaystyle{\frac{\hspace{2}7\hspace{2}}{\hspace{2} {x}^{2}+3x- 10 \hspace{2}}=\frac{\hspace{2}7\hspace{2}}{\hspace{2} $ x- 2 $ $ x+5 $ \hspace{2}}}$

となる．次に，　

$3$\displaystyle{\frac{\hspace{2}7\hspace{2}}{\hspace{2} $ x- 2 $ $ x+5 $ \hspace{2}}=\frac{\hspace{2}A\hspace{2}}{\hspace{2} x- 2 \hspace{2}}+\frac{\hspace{2}B\hspace{2}}{\hspace{2} x+5 \hspace{2}}}$

とおく．

$3$\displaystyle{\frac{\hspace{2}A\hspace{2}}{\hspace{2} x- 2 \hspace{2}}+\frac{\hspace{2}B\hspace{2}}{\hspace{2} x+5 \hspace{2}}}$ $3$\displaystyle{=\frac{\hspace{2} A $ x+5 $ +B $ x- 2 $ \hspace{2}}{\hspace{2} $ x- 2 $ $ x+5 $ \hspace{2}}}$

$3$\displaystyle{=\frac{\hspace{2} $ A+B $ x+5A- 2B \hspace{2}}{\hspace{2} $ x- 2 $ $ x+5 $ \hspace{2}}}$

よって

$3$\displaystyle{ \{ \begin{array} A+B=0 & \vspace{6}\\ 5A- 2B=7 & \vspace{6}\\ \end{array} }$

の関係が成り立てばよい．

$3$\displaystyle{B=- A}$

$3$\displaystyle{5A- 2 $ - A $ =7}$

$3$\displaystyle{7A=7}$

$3$\displaystyle{A=1}$

$3$\displaystyle{B=- 1}$

以上より

$3$\displaystyle{\frac{\hspace{2}7\hspace{2}}{\hspace{2} {x}^{2}+3x- 10 \hspace{2}}=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} x- 2 \hspace{2}}- \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} x+5 \hspace{2}}}$

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学生スタッフ作成

初版：2011年1月19日，最終更新日： 2011年6月30日

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