一般項の推測

■問題

次の数列の一般項 $3$\displaystyle{ \text{\hspace{1} }\hspace{1}{a}_{n}\text{\hspace{1} } }$ を推測せよ．

$3$\displaystyle{ \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}\text{\hspace{1} \hspace{1} },\frac{\hspace{2}3\hspace{2}}{\hspace{2}4\hspace{2}}\text{\hspace{1} \hspace{1} },\frac{\hspace{2}5\hspace{2}}{\hspace{2}6\hspace{2}}\text{\hspace{1} \hspace{1} },\frac{\hspace{2}7\hspace{2}}{\hspace{2}8\hspace{2}}\text{\hspace{1} \hspace{1} },\frac{\hspace{2}9\hspace{2}}{\hspace{2} 10 \hspace{2}}\text{\hspace{1} \hspace{1} },\cdot \cdot \cdot }$

■答

$3$\displaystyle{\hspace{1}{a}_{n}=\frac{\hspace{2} 2n- 1 \hspace{2}}{\hspace{2} 2n \hspace{2}}}$

■ヒント

分母と分子に分けて考えると等差数列となることを利用し，等差数列の一般項の公式より

$3$\hspace{1}{a}_{n}=\hspace{1}{a}_{1}+ $ n- 1 $ d$

を用いる．

■解き方

与えられた数列の一般項 $3$\displaystyle{ \text{\hspace{1} \hspace{1} }\hspace{1}{a}_{n}\text{\hspace{1} \hspace{1} } }$ を分子の一般項を $3$\displaystyle{\text{\hspace{1} \hspace{1} }\hspace{1}{a}_{ 1n }\text{\hspace{1} \hspace{1} }}$ ，分母の一般項を $3$\displaystyle{\text{\hspace{1} }\text{\hspace{1} }\hspace{1}{a}_{ 2n }\text{\hspace{1} }\text{\hspace{1} }}$ とおいて

$3$\displaystyle{\text{\hspace{1} }\text{\hspace{1} }\hspace{1}{a}_{n}=\frac{\hspace{2} \hspace{1}{a}_{ 1n } \hspace{2}}{\hspace{2} \hspace{1}{a}_{ 2n } \hspace{2}}\text{\hspace{1} \hspace{1} \hspace{1} \hspace{1} }}$

と表し，分母と分子に分けて考えると

分子は，初項 $3$\displaystyle{\text{\hspace{1} }1\text{\hspace{1} }}$ で各項に $3$\displaystyle{\text{\hspace{1} }2\text{\hspace{1} }}$ を加えた数字がその次の項になっている．

よって，初項 $3$\displaystyle{\text{\hspace{1} }\hspace{1}{a}_{1}=1\text{\hspace{1} }}$ ，公差 $3$\displaystyle{\text{\hspace{1} }d=2\text{\hspace{1} }}$ であるから，その一般項 $3$\displaystyle{\text{\hspace{1} \hspace{1} }\hspace{1}{a}_{ 1n }\text{\hspace{1} \hspace{1} }}$ は等差数列の一般項の公式

$3$\displaystyle{\text{\hspace{1} \hspace{1} \hspace{1} }\hspace{1}{a}_{n}=\hspace{1}{a}_{1}+ $ n- 1 $ d\text{\hspace{1} }}$

より

$3$\displaystyle{\hspace{1}{a}_{ 1n }\text{\hspace{1} \hspace{1} }}$ $3$\displaystyle{=1+ $ n- 1 $ 2}$ $3$\displaystyle{=1+2n- 2}$ $3$\displaystyle{=2n- 1}$

次に，分母は，初項 $3$\displaystyle{\text{\hspace{1} }2\text{\hspace{1} }}$ で各項に $3$\displaystyle{\text{\hspace{1} }2\text{\hspace{1} }}$ を加えた数字がその次の項になっている．

よって，初項 $3$\displaystyle{\text{\hspace{1} }\hspace{1}{a}_{1}=2\text{\hspace{1} }}$ ，公差 $3$\displaystyle{\text{\hspace{1} }d=2\text{\hspace{1} }}$ であるから，その一般項 $3$\displaystyle{\text{\hspace{1} \hspace{1} }\hspace{1}{a}_{ 2n }\text{\hspace{1} \hspace{1} }}$ は等差数列の一般項の公式

$3$\displaystyle{\text{\hspace{1} \hspace{1} \hspace{1} }\hspace{1}{a}_{n}=\hspace{1}{a}_{1}+ $ n- 1 $ d\text{\hspace{1} }}$

より

$3$\displaystyle{\hspace{1}{a}_{ 2n }\text{\hspace{1} \hspace{1} }}$ $3$\displaystyle{=2+ $ n- 1 $ 2}$ $3$\displaystyle{=2+2n- 2}$ $3$\displaystyle{=2n}$

以上より，数列全体の一般項 $3$\displaystyle{\text{\hspace{1} }\hspace{1}{a}_{n}\text{\hspace{1} }}$ は

$3$\displaystyle{\hspace{1}{a}_{n}=\frac{\hspace{2} \hspace{1}{a}_{ 1n } \hspace{2}}{\hspace{2} \hspace{1}{a}_{ 2n } \hspace{2}}=\frac{\hspace{2} 2n- 1 \hspace{2}}{\hspace{2} 2n \hspace{2}}}$

となる．

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最終更新日： 2024年5月28日