一般項の推測

■問題

次の数列の一般項 $3$\displaystyle{ \text{\hspace{1} }\hspace{1}{a}_{n}\text{\hspace{1} } }$ を推測せよ．

$3$\displaystyle{ 1,- 11,21,- 31,41,\cdot \cdot \cdot }$

■答

$3$\displaystyle{\hspace{1}{a}_{n}= $ 10n- 9 $ { $ - 1 $ }^{ n- 1 }}$

■ヒント

各項を絶対値で考えると等差数列となることを利用し，等差数列の一般項の公式より

$3$\hspace{1}{a}_{n}=\hspace{1}{a}_{1}+ $ n- 1 $ d$

を用いる．

■解き方

与えられた数列を絶対値で考えると

$3$\displaystyle{\text{\hspace{1} \hspace{1} \hspace{1} \hspace{1} } \|1\| , \| - 11 \| , \| 21 \| , \| - 31 \| , \| 41 \| ,\cdot \cdot \cdot }$ $3$\displaystyle{=\text{\hspace{1} }1,\text{\hspace{1} \hspace{1} \hspace{1} \hspace{1} \hspace{1} \hspace{1} \hspace{1} }11\text{\hspace{1} \hspace{1} },\text{\hspace{1} }\text{\hspace{1} }21\text{\hspace{1} }\text{\hspace{1} },\text{\hspace{1} }\text{\hspace{1} }\text{\hspace{1} }\text{\hspace{1} }31\text{\hspace{1} \hspace{1} },\text{\hspace{1} }\text{\hspace{1} }41\text{\hspace{1} }\text{\hspace{1} },\cdot \cdot \cdot }$

となる．

この数列の一般項を $3$\displaystyle{\text{\hspace{1} }\text{\hspace{1} }\hspace{1}{{a}^{\prime }}_{n}\text{\hspace{1} }\text{\hspace{1} }}$ とおく．

この数列は，初項 $3$\displaystyle{\text{\hspace{1} }1\text{\hspace{1} }}$ で各項に $3$\displaystyle{\text{\hspace{1} }10\text{\hspace{1} }}$ を加えた数字がその次の項になっている．

よって，初項 $3$\displaystyle{\text{\hspace{1} }\hspace{1}{a}_{1}=1\text{\hspace{1} }}$ ，公差 $3$\displaystyle{\text{\hspace{1} }d=10\text{\hspace{1} }}$ であるから，その一般項 $3$\displaystyle{\text{\hspace{1} }\text{\hspace{1} }\hspace{1}{{a}^{\prime }}_{n}\text{\hspace{1} }\text{\hspace{1} }}$ は等差数列の一般項の公式

$3$\displaystyle{\text{\hspace{1} \hspace{1} \hspace{1} }\hspace{1}{a}_{n}=\hspace{1}{a}_{1}+ $ n- 1 $ d\text{\hspace{1} }}$

より

$3$\displaystyle{\hspace{1}{{a}^{\prime }}_{n}\text{\hspace{1} }\text{\hspace{1} }}$ $3$\displaystyle{=1+ $ n- 1 $ 10}$ $3$\displaystyle{=1+10n- 10}$ $3$\displaystyle{=10n- 9}$

次に，与えられた数列は各項の符号が交互に＋，－になっている．

これを数列に合わせて一般化すると

$3$\displaystyle{ { $ - 1 $ }^{ n- 1 } }$

よって，数列全体の一般項 $3$\displaystyle{\text{\hspace{1} }\hspace{1}{a}_{n}\text{\hspace{1} }}$ は

$3$\displaystyle{ \hspace{1}{a}_{n}\text{\hspace{1} }\text{\hspace{1} } }$ $3$\displaystyle{ ={ $ - 1 $ }^{ n- 1 }\hspace{1}{{a}^{\prime }}_{n} }$ $3$ ={ $ - 1 $ }^{ n- 1 } $ 10n- 9 $$

となる．

ホーム>>カテゴリー分類>>数列>>問題演習>>数列の一般項の推測

学生スタッフ
最終更新日： 2024年5月28日