関数のべき級数展開

■問題

$3$\displaystyle{ \cos x }$

■ヒント

$3$\displaystyle{f $x$ =\cos x}$ とおいて，微分を順次行い $3$\displaystyle{ {f}^{ $5$ } $x$ }$ まで導関数を求める．

そして，各々に各々の導関数の $3$\displaystyle{ x=0 }$ の値， $3$\displaystyle{ {f}^{\prime } $0$ ,{f}^{\prime\prime } $0$ ,\cdots ,{f}^{ $5$ } $0$ }$ を求める．

最後に，求めた値をマクローリン展開の式に代入する．

■答

$3$\displaystyle{f $x$ =\cos x}$ とおく．

$3$\displaystyle{f $x$ =\cos x}$		$3$\displaystyle{f $0$ =1}$
$3$\displaystyle{{f}^{\prime } $x$ =- \sin x}$		$3$\displaystyle{{f}^{\prime } $0$ =0}$
$3$\displaystyle{{f}^{\prime\prime } $x$ =- \cos x}$		$3$\displaystyle{{f}^{\prime\prime } $0$ =- 1}$
$3$\displaystyle{{f}^{\prime\prime\prime } $x$ =\sin x}$		$3$\displaystyle{{f}^{\prime\prime\prime } $0$ =0}$
$3$\displaystyle{{f}^{ $4$ } $x$ =\cos x}$		$3$\displaystyle{{f}^{ $4$ } $0$ =1}$
$3$\displaystyle{{f}^{ $5$ } $x$ =- \sin x}$		$3$\displaystyle{{f}^{ $5$ } $0$ =0}$
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すなわち， $3$\displaystyle{ m=0,1,2,3,\cdots }$ に対して，

$3$\displaystyle{ {f}^{ \left({n}\right) }\left({0}\right)=\left{{\begin{array}{lll}\text{ }\text{ }0\text{\hspace{5}}\left({ n=2m+1 }\right)& \vspace{6}\\ \text{ }\text{ }1\text{\hspace{5}}\left({ n=4m }\right)& \vspace{6}\\ - 1\text{\hspace{5}}\left({ n=4m+2 }\right)& \vspace{6}\\ \end{array} }$
TeXに変換設定していない数学記号や，特殊文字が含まれています。今後直していきます。

ゆえに，

$3$\displaystyle{\cos x}$ $3$\displaystyle{=f$0$+{f}^{\prime }$0$x+\frac{\hspace{2} {f}^{\prime\prime }$0$ \hspace{2}}{\hspace{2} 2! \hspace{2}}{x}^{2}}$ $3$\displaystyle{+\frac{\hspace{2} {f}^{\prime\prime\prime }$0$ \hspace{2}}{\hspace{2} 3! \hspace{2}}{x}^{3}}$ $3$\displaystyle{+\cdots }$ $3$\displaystyle{+\frac{\hspace{2} {f}^{ $n$ }$0$ \hspace{2}}{\hspace{2} n! \hspace{2}}{x}^{n}}$ $3$\displaystyle{+\cdots }$

$3$\displaystyle{=1+0\cdot x+\frac{\hspace{2} - 1 \hspace{2}}{\hspace{2} 2! \hspace{2}}{x}^{2}+\frac{\hspace{2}0\hspace{2}}{\hspace{2} 3! \hspace{2}}{x}^{3}}$ $3$\displaystyle{+\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} 4! \hspace{2}}{x}^{4}+\frac{\hspace{2}0\hspace{2}}{\hspace{2} 5! \hspace{2}}{x}^{5}}$ $3$\displaystyle{+\frac{\hspace{2} - 1 \hspace{2}}{\hspace{2} 6! \hspace{2}}{x}^{6}+\cdots }$

$3$\displaystyle{ =1- \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} 2! \hspace{2}}{\displaystyle{x}}^{2}+\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} 4! \hspace{2}}{\displaystyle{x}}^{4}- \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} 6! \hspace{2}}{\displaystyle{x}}^{6}+\cdots }$

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学生スタッフ
最終更新日： 2024年5月28日

$3$\displaystyle{f \(x\) =\cos x}$		$3$\displaystyle{f \(0\) =1}$
$3$\displaystyle{{f}^{\prime } \(x\) =- \sin x}$		$3$\displaystyle{{f}^{\prime } \(0\) =0}$
$3$\displaystyle{{f}^{\prime\prime } \(x\) =- \cos x}$		$3$\displaystyle{{f}^{\prime\prime } \(0\) =- 1}$
$3$\displaystyle{{f}^{\prime\prime\prime } \(x\) =\sin x}$		$3$\displaystyle{{f}^{\prime\prime\prime } \(0\) =0}$
$3$\displaystyle{{f}^{ \(4\) } \(x\) =\cos x}$		$3$\displaystyle{{f}^{ \(4\) } \(0\) =1}$
$3$\displaystyle{{f}^{ \(5\) } \(x\) =- \sin x}$		$3$\displaystyle{{f}^{ \(5\) } \(0\) =0}$
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