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関数のべき級数展開

■問題

次の関数をべき級数展開（マクローリン展開）をせよ．

$3$\displaystyle{{e}^{ 4t }}$

■ヒント

$3$\displaystyle{ f $x$ ={e}^{x}\text{\hspace{1}}\text{\hspace{1}} }$ のべき級数展開は，

$3$\displaystyle{ {e}^{x}=1+x+\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} 2! \hspace{2}}{x}^{2}+\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} 3! \hspace{2}}{x}^{3} }$ $3$\displaystyle{ +\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} 4! \hspace{2}}{x}^{4} }$ $3$\displaystyle{ +\cdots \cdots }$ $3$\displaystyle{ +\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} n! \hspace{2}}{x}^{n}+\cdots }$

となる．

これの $3$\displaystyle{\text{\hspace{1}}\text{\hspace{1}}x\text{\hspace{1}}\text{\hspace{1}}}$ に $3$\displaystyle{\text{\hspace{1}}\text{\hspace{1}}4t\text{\hspace{1}}\text{\hspace{1}}}$ を代入して計算する．

■答

$3$\displaystyle{{e}^{ 4t }}$ $3$\displaystyle{=1+4t+\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} 2! \hspace{2}}{ $ 4t $ }^{2}+\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} 3! \hspace{2}}{ $ 4t $ }^{3}+\cdot \cdot \cdot }$ 　　（マクローリン展開の公式を利用する．）

$3$\displaystyle{=1+4t+\frac{\hspace{2} 16 \hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}{t}^{2}+\frac{\hspace{2} 64 \hspace{2}}{\hspace{2}6\hspace{2}}{t}^{3}+\cdot \cdot \cdot }$ 　　（約分を行う．）

$3$\displaystyle{=1+4t+8{t}^{2}+\frac{\hspace{2} 32 \hspace{2}}{\hspace{2}3\hspace{2}}{t}^{3}+\cdot \cdot \cdot }$

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学生スタッフ作成

最終更新日： 2022年6月4日

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