関数のべき級数展開

■問題

$3$\displaystyle{ 5x{e}^{ 6x } }$

■ヒント

$3$\displaystyle{f $x$ ={e}^{x}}$ のべき級数展開は

$3$\displaystyle{{e}^{x}=1+x+\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} 2! \hspace{2}}{x}^{2}+\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} 3! \hspace{2}}{x}^{3}+\cdot \cdot \cdot }$

したがって， $3$\displaystyle{x}$ に $3$\displaystyle{6x}$ を代入する．

そして，両辺に $3$\displaystyle{5x}$ をかける．

■答

$3$\displaystyle{{e}^{ 6x }}$ $3$\displaystyle{=1+6x+\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} 2! \hspace{2}}{ $ 6x $ }^{2}+\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} 3! \hspace{2}}{ $ 6x $ }^{3}+\cdot \cdot \cdot }$ 　　（マクローリン展開の公式を利用する．）

$3$\displaystyle{=1+6x+\frac{\hspace{2} 36 \hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}{x}^{2}+\frac{\hspace{2} 216 \hspace{2}}{\hspace{2}6\hspace{2}}{x}^{3}+\cdot \cdot \cdot }$

$3$\displaystyle{=1+6x+18{x}^{2}+36{x}^{3}+\cdot \cdot \cdot }$

そして，両辺に $3$\displaystyle{5x}$ をかける．

$3$\displaystyle{5x{e}^{ 6x }}$ $3$\displaystyle{=5x+30{x}^{2}+90{x}^{3}+180{x}^{4}+\cdot \cdot \cdot }$

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学生スタッフ
最終更新日： 2024年5月28日