関数のべき級数展開

■問題

$3$\displaystyle{ \log $ 1+2x+3{x}^{2} $ }$

■ヒント

$3$\displaystyle{\log $ 1+2x+3{x}^{2} $ =\log \{ 1+x $ 2+3x $ \} }$ とおく．

$3$\displaystyle{f $x$ =\log $ 1+x $ }$ のべき級数展開は，

$3$\displaystyle{\log $ 1+x $ =x- \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}{x}^{2}+\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}3\hspace{2}}{x}^{3}- \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}4\hspace{2}}{x}^{4}+\cdot \cdot \cdot }$

したがって， $3$\displaystyle{x}$ に $3$\displaystyle{ x $ 2+3x $ }$ を代入する

■答

$3$\displaystyle{ \log $ 1+2x+3{x}^{2} $ }$

$3$\displaystyle{=\log \{ 1+x $ 2+3x $ \} }$

$3$\displaystyle{=x $ 2+3x $ - \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}{ \{ x $ 2+3x $ \} }^{2}}$ $3$\displaystyle{+\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}3\hspace{2}}{ \{ x $ 2+3x $ \} }^{3}}$ $3$\displaystyle{- \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}4\hspace{2}}{ \{ x $ 2+3x $ \} }^{4}}$ $3$\displaystyle{+\cdot \cdot \cdot }$

$3$\displaystyle{= $ 2x+3{x}^{2} $ - \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}} $ 4{x}^{2}+12{x}^{3}+9{x}^{4} $ }$ $3$\displaystyle{+\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}3\hspace{2}} $ 8{x}^{3}+36{x}^{4}+54{x}^{5}+27{x}^{6} $ }$ $3$\displaystyle{- \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}4\hspace{2}} $ 16{x}^{4}+{ 96 }^{5}+216{x}^{6}+216{x}^{7}+81{x}^{8} $ +\cdot \cdot \cdot }$

$3$\displaystyle{=2x+ $ 3{x}^{2}- 2{x}^{2} $ + $ - 6{x}^{3}+\frac{\hspace{2}8\hspace{2}}{\hspace{2}3\hspace{2}}{x}^{3} $ }$ $3$\displaystyle{+ $ - \frac{\hspace{2}9\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}{x}^{4}+12{x}^{4}- 4{x}^{4} $ }$ $3$\displaystyle{+ $ 18{x}^{5}- 24{x}^{5} $ }$ $3$\displaystyle{+ $ 9{x}^{6}- 54{x}^{6} $ }$ $3$\displaystyle{- 216{x}^{7}- 81{x}^{8}+\cdot \cdot \cdot }$

$3$\displaystyle{=2x+{x}^{2}- \frac{\hspace{2} 10 \hspace{2}}{\hspace{2}3\hspace{2}}{x}^{3}+\frac{\hspace{2}7\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}{x}^{4}+\cdot \cdot \cdot }$

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学生スタッフ
最終更新日： 2024年5月28日