数列の極限に関する問題

■問題

数列

$3$\displaystyle{\frac{\hspace{2} 1- 1 \hspace{2}}{\hspace{2} 3+1- 1 \hspace{2}}\text{\hspace{1} },\text{\hspace{1} }\frac{\hspace{2} 1- {2}^{3} \hspace{2}}{\hspace{2} 24+{2}^{2}- 1 \hspace{2}}\text{\hspace{1} },\text{\hspace{1} }\frac{\hspace{2} 1- {3}^{3} \hspace{2}}{\hspace{2} 81+{3}^{2}- 1 \hspace{2}}\text{\hspace{1} },\text{\hspace{1} }\cdot \cdot \cdot \text{\hspace{1} },\text{\hspace{1} }\frac{\hspace{2} 1- {n}^{3} \hspace{2}}{\hspace{2} 3{n}^{3}+{n}^{2}- 1 \hspace{2}}\text{\hspace{1} },\text{\hspace{1} }\cdot \cdot \cdot }$

すなわち，第 $3$\displaystyle{ n }$ 項が

$3$\displaystyle{\hspace{1}{a}_{n}=\frac{\hspace{2} 1- {n}^{3} \hspace{2}}{\hspace{2} 3{n}^{3}+{n}^{2}- 1 \hspace{2}}\text{\hspace{1} }}$

となる数列の極限値

$3$\displaystyle{{ \lim }\limits_{ n\rightarrow \infty }\hspace{1}{a}_{n}={ \lim }\limits_{ n\rightarrow \infty }\frac{\hspace{2} 1- {n}^{3} \hspace{2}}{\hspace{2} 3{n}^{3}+{n}^{2}- 1 \hspace{2}}}$

を求めよ．

■答

$3$\displaystyle{{ \lim }\limits_{ n\rightarrow \infty }\hspace{1}{a}_{n}={ \lim }\limits_{ n\rightarrow \infty }\frac{\hspace{2} 1- {n}^{3} \hspace{2}}{\hspace{2} 3{n}^{3}+{n}^{2}- 1 \hspace{2}}=- \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}3\hspace{2}}}$

■ヒント

$3$\displaystyle{ n }$ にそのまま $3$\displaystyle{ \infty }$ を代入すると， $3$\displaystyle{ \frac{\hspace{2} - \infty \hspace{2}}{\hspace{2}\infty\hspace{2}} }$ の形になってしまい極限が分からない．

$3$\displaystyle{{ \lim }\limits_{ n\rightarrow \infty }\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}n\hspace{2}}=0}$ ， $3$\displaystyle{{ \lim }\limits_{ n\rightarrow \infty }\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} {n}^{2} \hspace{2}}=0}$ ， $3$\displaystyle{{ \lim }\limits_{ n\rightarrow \infty }\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} {n}^{3} \hspace{2}}=0}$ を利用する．

したがって，分母の変数の中で最も次数の高いもので割る．

最後に，式全体で収束・発散を判断する．

■解き方

$3$\displaystyle{{ \lim }\limits_{ n\rightarrow \infty }\frac{\hspace{2} 1- {n}^{3} \hspace{2}}{\hspace{2} 3{n}^{3}+{n}^{2}- 1 \hspace{2}}}$

分母，分子を $3$\displaystyle{{n}^{3}}$ で割る．

$3$\displaystyle{={ \lim }\limits_{ n\rightarrow \infty }\frac{\hspace{2} \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} {n}^{3} \hspace{2}}- 1 \hspace{2}}{\hspace{2} 3+\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}n\hspace{2}}- \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} {n}^{3} \hspace{2}} \hspace{2}}}$

$3$\displaystyle{n\rightarrow \infty}$ の時， $3$\displaystyle{\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}n\hspace{2}}}$ と $3$\displaystyle{\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} {n}^{3} \hspace{2}}}$ は $3$\displaystyle{0}$ になる．

$3$\displaystyle{={ \lim }\limits_{ n\rightarrow \infty }\frac{\hspace{2} - 1 \hspace{2}}{\hspace{2}3\hspace{2}}}$

$3$\displaystyle{ =- \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}3\hspace{2}} }$

すなわち，与式は $3$\displaystyle{ - \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}3\hspace{2}} }$ に収束する．

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学生スタッフ
最終更新日： 2024年5月28日