等差数列の初項と公差

■問題

第4項が18，第9項が43である等差数列の初項と公差を求めよ．

初項 $3$\displaystyle{\hspace{1}{a}_{1}=3}$ ，公差 $3$\displaystyle{d=5}$

$3$\displaystyle{\hspace{1}{a}_{n}=\hspace{1}{a}_{1}+ $ n- 1 $ d}$ 　(ただし， $3$\displaystyle{\hspace{1}{a}_{1}}$ は初項， $3$\displaystyle{d}$ は公差)

を用いる．

初項を $3$\displaystyle{\hspace{1}{a}_{1}}$ ，公差を $3$\displaystyle{d}$ ，一般項を $3$\displaystyle{\hspace{1}{a}_{n}}$ とすると，等差数列の一般項の公式より

$3$\displaystyle{\hspace{1}{a}_{n}=\hspace{1}{a}_{1}+ $ n- 1 $ d\text{\hspace{1} }}$

となる．

$3$\displaystyle{\hspace{1}{a}_{4}=18}$ より

$3$\displaystyle{\hspace{1}{a}_{4}=\hspace{1}{a}_{1}+3d=18}$ 　･･････(1)

$3$\displaystyle{\hspace{1}{a}_{9}=43}$ より

$3$\displaystyle{\hspace{1}{a}_{9}=\hspace{1}{a}_{1}+8d=43}$ 　･･････(2)

(1)，(2)を連立させて $3$\displaystyle{\hspace{1}{a}_{1}}$ ， $3$\displaystyle{d}$ について解く

(2)-(1)より

$3$\displaystyle{5d=25}$ ， $3$d=5$ 　･･････(3)

(3)を(1)に代入することにより

$3$\displaystyle{\hspace{1}{a}_{1}+3\cdot 5=18}$ ， $3$\displaystyle{\hspace{1}{a}_{1}=3}$ 　･･････(4)

となる．

したがって，初項 $3$\displaystyle{\hspace{1}{a}_{1}=3}$ ，公差 $3$\displaystyle{d=5}$ である．

学生スタッフ
最終更新日：2024年5月28日