等差数列の一般項と和

■問題

等差数列 $3$\displaystyle{ 14,21,28,35,42,\cdot \cdot \cdot }$ の一般項 $3$\displaystyle{\hspace{1}{a}_{n}}$ ，初項から第15項までの和 $3$\displaystyle{\hspace{1}{S}_{ 15 }}$ を求めよ．

■答

$3$\displaystyle{\hspace{1}{a}_{n}\text{\hspace{1} }\text{\hspace{1} }}$ $3$\displaystyle{=7n+ 7}$

$3$\displaystyle{\hspace{1}{S}_{ 15 }=945}$

■ヒント

等差数列の一般項の公式

$3$\displaystyle{\hspace{1}{a}_{n}=\hspace{1}{a}_{1}+ $ n- 1 $ d}$ 　(ただし， $3$\displaystyle{\hspace{1}{a}_{1}}$ は初項， $3$\displaystyle{d}$ は公差)

を用いる．

次に初項から第15項までの和 $3$\displaystyle{\text{\hspace{1} }\text{\hspace{1} }\hspace{1}{S}_{ 15 }\text{\hspace{1} }\text{\hspace{1} }}$ は，等差数列の和の公式

$3$\displaystyle{ \hspace{1}{S}_{n}=\frac{\hspace{2} n \{ 2\hspace{1}{a}_{1}+ $ n- 1 $ d \} \hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}} }$

を用いる．

■解き方

等差数列の一般項 $3$\displaystyle{\hspace{1}{a}_{n}}$ は

$3$\displaystyle{\hspace{1}{a}_{n}=\hspace{1}{a}_{1}+ $ n- 1 $ d\text{\hspace{1} }}$

である．

初項 $3$\displaystyle{\hspace{1}{a}_{1}=14}$ ,交差 $3$\displaystyle{d=7}$ より

$3$\displaystyle{\hspace{1}{a}_{n}\text{\hspace{1} }\text{\hspace{1} }}$ $3$\displaystyle{=14+ $ n- 1 $ 7}$ $3$\displaystyle{=14+ 7n- 7}$ $3$\displaystyle{=7n+ 7}$

次に，等差数列の和の公式

$3$\displaystyle{ \hspace{1}{S}_{n}=\frac{\hspace{2} n \{ 2\hspace{1}{a}_{1}+ $ n- 1 $ d \} \hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}} }$

より

$3$\displaystyle{\hspace{1}{S}_{ 15 }\text{\hspace{1} }\text{\hspace{1} }}$ $3$\displaystyle{=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}\times 15 \{ 2\times 14+ $ 15- 1 $ 7 \} }$ $3$\displaystyle{=\frac{\hspace{2} 15 \hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}\times $ 28+98 $ }$ $3$\displaystyle{=945}$

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最終更新日： 2024年5月28日