等差数列の応用

■問題

$3$\displaystyle{ 1260 }$ 以下の自然数のうち， $3$\displaystyle{ 7 }$ で割り切れる数の和を求めよ．

■答

$3$\displaystyle{S=114030}$

■ヒント

初項が $3$\displaystyle{7}$ ，交差が $3$\displaystyle{7}$ の等差数列の一般項

$3$\displaystyle{\hspace{1}{a}_{n}=7+ 7$ n- 1 $ }$

を用いる．

次に初項から末項（ $3$ \hspace{1}{a}_{l}$ ）までの和 $3$\displaystyle{\text{\hspace{1} }\text{\hspace{1} }\hspace{1}{S}_{ l }\text{\hspace{1} }\text{\hspace{1} }}$ は，等差数列の和の公式

$3$\displaystyle{\hspace{1}{S}_{l}=}$ 1 2 ×n×( a 1 + a l )

を用いて和を求める．

■解き方

$3$\displaystyle{1260\div 7=180}$

よって，与えられた数列は，項数 $3$\displaystyle{180}$ ，末項 $3$\hspace{1}{a}_{ 180 }=1260$ の等差数列である．
題意から，与えられた等差数列は，初項 $3$\displaystyle{\hspace{1}{a}_{1}=7}$ ，交差 $3$\displaystyle{d=7}$ であるから，一般項 $3$\displaystyle{\hspace{1}{a}_{n}}$ は，等差数列の一般項の公式

$3$\displaystyle{\hspace{1}{a}_{n}=\hspace{1}{a}_{1}+ $ n- 1 $ d\text{\hspace{1} }}$

より

$3$\displaystyle{\hspace{1}{a}_{n}\text{\hspace{1} }\text{\hspace{1} }}$ $3$\displaystyle{=7+ $ n- 1 $ 7}$ $3$\displaystyle{=7+7n- 7}$ $3$\displaystyle{=7n}$

次に，等差数列の和の公式

$3$\displaystyle{\hspace{1}{S}_{n}=}$ 1 2 ×n×( a 1 + a n )

より

$3$\displaystyle{S=\hspace{1}{S}_{ 180 }}$ $3$\displaystyle{=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}\times 180 $ 7+1260 $ }$ $3$\displaystyle{= 90 \times 1267}$ $3$\displaystyle{=114030}$

ホーム>>カテゴリー分類>>数列>>問題演習>>等差数列の応用

学生スタッフ
最終更新日： 2024年5月28日