等差数列の応用

■問題

$3$\displaystyle{\text{\hspace{1} }\text{\hspace{1} }1000\text{\hspace{1} }\text{\hspace{1} }}$ 以下の整数のうちの， $3$\displaystyle{\text{\hspace{1} }\text{\hspace{1} }3\text{\hspace{1} }\text{\hspace{1} }}$ で割り切れる数の和を求めよ．

■答

$3$\displaystyle{S=166833}$

■ヒント

始めに項数を求める．題意から，初項，公差を導き，等差数列に当てはめて考える．

題意から導いた数列の和は，等差数列の和の公式

$3$\displaystyle{\hspace{1}{S}_{n}=\frac{\hspace{2} n $ \hspace{1}{a}_{1}+\hspace{1}{a}_{n} $ \hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}}$

を用いて求める．

■解き方

$3$\displaystyle{1000\div 3=333.33\cdot \cdot \cdot }$

よって，項数 $3$\displaystyle{\text{\hspace{1} }\text{\hspace{1} }n=333}$ ，末項 $3$\displaystyle{333\times 3=999\text{\hspace{1} }\text{\hspace{1} }}$

与えられた等差数列は，初項 $3$\displaystyle{\text{\hspace{1} }\hspace{1}{a}_{1}=3\text{\hspace{1} }}$ ，末項 $3$\displaystyle{\text{\hspace{1} }\text{\hspace{1} }\hspace{1}{a}_{ 333 }=999\text{\hspace{1} }\text{\hspace{1} }}$ ，公差 $3$\displaystyle{\text{\hspace{1} }\text{\hspace{1} }d=3\text{\hspace{1} }\text{\hspace{1} }}$ の等差数列

$3$\displaystyle{3,6,9,\cdot \cdot \cdot ,999}$

の和である．項数は $3$\displaystyle{n=333}$ であるから，初項から第333項までの和 $3$\displaystyle{\text{\hspace{1} }\text{\hspace{1} }\hspace{1}{S}_{ 333 }\text{\hspace{1} }\text{\hspace{1} }}$ は，等差数列の和の公式

$3$\displaystyle{\hspace{1}{S}_{n}=\frac{\hspace{2} n $ \hspace{1}{a}_{1}+\hspace{1}{a}_{n} $ \hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}n $ \hspace{1}{a}_{1}+\hspace{1}{a}_{n} $ }$

より

$3$\displaystyle{S=\hspace{1}{S}_{ 333 }}$ $3$\displaystyle{=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}\times 333\times $ 3+999 $ }$ $3$\displaystyle{=166833}$

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最終更新日： 2024年5月28日