等比数列の応用

■問題

毎年のはじめに $3$\displaystyle{200,000}$ ずつ積み立てるとき， $3$\displaystyle{15}$ 年後の積立金の元利合計を，年利率 $3$\displaystyle{0.3}$ ％， $3$\displaystyle{1}$ 年ごとの複利で求めよ．ただし， $3$\displaystyle{{1.003}^{ 15 }=1.046}$ とする．

■ヒント

題意から，初項，公比，項数を導き，等比数列に当てはめて考える．

題意から導いた数列の和は，等比数列の和の公式

$3$\displaystyle{\hspace{1}{S}_{n}=\frac{\hspace{2} \hspace{1}{a}_{1} $ {r}^{n}- 1 $ \hspace{2}}{\hspace{2} r- 1 \hspace{2}}}$

を用いて求める．

■答

積立１回に対する1年後，2年後，3年後，・・・の元利合計は

$3$\displaystyle{ 200000 $ 1+0.003 $ \text{\hspace{1}}\text{\hspace{1}},\text{\hspace{1}}\text{\hspace{1}} }$ $3$\displaystyle{ 200000{ $ 1+0.003 $ }^{2}\text{\hspace{1}}\text{\hspace{1}},\text{\hspace{1}} }$ $3$\displaystyle{ \text{\hspace{1}}\text{\hspace{1}}200000{ $ 1+0.003 $ }^{3}\text{\hspace{1}}\text{\hspace{1}},\cdot \cdot \cdot }$

という等比数列となる．つまり

初項: $3$\displaystyle{\hspace{1}{a}_{1}=200000 $ 1+0.003 $ }$ ，公比: $3$\displaystyle{r= $ 1+0.003 $ =1.003}$

である．

よって，15年後の元利合計を $3$\displaystyle{\hspace{1}{S}_{ 15 }}$ とすると

$3$\displaystyle{\hspace{1}{S}_{ 15 }}$ $3$\displaystyle{=\frac{\hspace{2} 200000 $ 1+0.003 $ $ { 1.003 }^{ 15 }- 1 $ \hspace{2}}{\hspace{2} 1.003- 1 \hspace{2}}}$

( 等比数列の和の公式 $3$\displaystyle{\hspace{1}{S}_{n}=\frac{\hspace{2} \hspace{1}{a}_{1} $ {r}^{n}- 1 $ \hspace{2}}{\hspace{2} r- 1 \hspace{2}}}$ より)

$3$\displaystyle{=\frac{\hspace{2} 200000\times 1.003 $ 1.046- 1 $ \hspace{2}}{\hspace{2} 0.003 \hspace{2}}}$

(与えられている $3$\displaystyle{{1.003}^{ 15 }=1.046}$ を用いた)

$3$\displaystyle{=3075866.7}$

よって，約 $3$\displaystyle{3075,867}$ 円となる．

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学生スタッフ
最終更新日： 2024年10月7日