和の計算

■問題

次の和を求めよ．

$3$\displaystyle{{\sum }\limits_{ k=1 }^{4} $ {2}^{k}- 3k $ \text{\hspace{1} \hspace{1} \hspace{1} }}$

■ヒント

左の項は，等比数列の一般項の形に変形する．
等比数列の和と考えて，等比数列の和の公式

$3$\displaystyle{\text{\hspace{1} \hspace{1} \hspace{1} \hspace{1} \hspace{1} \hspace{1} }\hspace{1}{S}_{n}=\frac{\hspace{2} \hspace{1}{a}_{1} $ {r}^{n}- 1 $ \hspace{2}}{\hspace{2} r- 1 \hspace{2}}}$

を用いて求める．

右の項は，和の公式

$3$\displaystyle{ {\sum }\limits_{ k=1 }^{n}k=\frac{\hspace{2} n $ n+1 $ \hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}} }$

を用いて求める．

■答

$3$\displaystyle{{\sum }\limits_{ k=1 }^{4} $ {2}^{k}- 3k $ \text{\hspace{1} \hspace{1} \hspace{1} }}$

$3$\displaystyle{={\sum }\limits_{ k=1 }^{4} {2}^{k}- 3{\sum }\limits_{ k=1 }^{4}k }$

$3$\displaystyle{{2}^{k}=2\cdot {2}^{ k- 1 }}$ と変換し，等比数列の一般項 $3$\displaystyle{\hspace{1}{a}_{n}=a\cdot {r}^{ n- 1 }}$ の形にする．

$3$\displaystyle{={\sum }\limits_{ k=1 }^{4} 2\cdot {2}^{ k- 1 }- 3{\sum }\limits_{ k=1 }^{4}k }$

等比数列と考えると $3$\displaystyle{\hspace{1}{a}_{1}=2,r=2}$ である．上記の等比数列の和の公式を適用する．

$3$\displaystyle{=\frac{\hspace{2} 2 $ {2}^{4}- 1 $ \hspace{2}}{\hspace{2} 2- 1 \hspace{2}}- 3\times \frac{\hspace{2} 4 $ 4+1 $ \hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}}$

$3$\displaystyle{=30- 30}$

$3$\displaystyle{=0}$

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学生スタッフ作成

最終更新日： 2023年12月14日