和の計算

■問題

次の和を求めよ．

$3$\displaystyle{2\cdot 1+4\cdot 3+6\cdot 5+\cdot \cdot \cdot +2n $ 2n-1 $ }$

■ヒント

数列を和記号 $3$\displaystyle{{\Sigma}}$ を用いて表し，和の公式が使えるよう式変形する．

■答

$3$\displaystyle{ \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}3\hspace{2}}n $ n+1 $ $ 4n-1 $ }$

■解説

$3$\displaystyle{2\cdot 1+4\cdot 3+6\cdot 5+\cdot \cdot \cdot +2n $ 2n-1 $ }$

$3$\displaystyle{{\sum }\limits_{ k=1 }^{n} 2k $ 2k- 1 $ }$ $3$\displaystyle{={\sum }\limits_{ k=1 }^{n} $ 4{k}^{2}- 2k $ }$

和記号 $3$\displaystyle{{\Sigma}}$ の性質を用いる．

$3$\displaystyle{=4{\sum }\limits_{ k=1 }^{n} {k}^{2} - 2{\sum }\limits_{ k=1 }^{n}k}$

$3$\displaystyle{{\sum }\limits_{ k=1 }^{n} {k}^{2} }$ の計算式と $3$\displaystyle{{\sum }\limits_{ k=1 }^{n} {k}^{ } }$ の計算式をそれぞれ用いる．

$3$\displaystyle{ {\sum }\limits_{ k=1 }^{n} {k}^{2} =\frac{\hspace{2} n $ n+1 $ $ 2n+1 $ \hspace{2}}{\hspace{2}6\hspace{2}} }$

$3$\displaystyle{ {\sum }\limits_{ k=1 }^{n}k=\frac{\hspace{2} n $ n+1 $ \hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}} }$ $3$\displaystyle{=4\times \frac{\hspace{2} n $ n+1 $ $ 2n+1 $ \hspace{2}}{\hspace{2}6\hspace{2}}- 2\times \frac{\hspace{2} n $ n+1 $ \hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}}$

$3$\displaystyle{ =\frac{\hspace{2} 4n $ n+1 $ $ 2n+1 $ \hspace{2}}{\hspace{2}6\hspace{2}}- \frac{\hspace{2} 2n $ n+1 $ \times 3 \hspace{2}}{\hspace{2} 2\times 3 \hspace{2}} }$

$3$\displaystyle{ =\frac{\hspace{2} 4n $ n+1 $ $ 2n+1 $ \hspace{2}}{\hspace{2}6\hspace{2}}- \frac{\hspace{2} 6n $ n+1 $ \hspace{2}}{\hspace{2}6\hspace{2}} }$

$3$\displaystyle{ =\frac{\hspace{2} 4n $ n+1 $ $ 2n+1 $ - 6n $ n+1 $ \hspace{2}}{\hspace{2}6\hspace{2}} }$

$3$\displaystyle{ =\frac{\hspace{2} 2n $ n+1 $ \{ 2 $ 2n+1 $ - 3 \} \hspace{2}}{\hspace{2}6\hspace{2}} }$

$3$\displaystyle{=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}3\hspace{2}}n $ n+1 $ \{ 2 $ 2n+1 $ - 3 \} }$

$3$\displaystyle{ =\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}3\hspace{2}}n $ n+1 $ $ 4n-1 $ }$

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最終更新日： 2024年5月28日