和の計算

■問題

次の和を求めよ．

$3$\displaystyle{{\sum }\limits_{ k=1 }^{n} $ k+2 $ $ k- 5 $ }$

■ヒント

和の公式

$3$\displaystyle{ {\sum }\limits_{ k=1 }^{n} {k}^{2} =\frac{\hspace{2} n $ n+1 $ $ 2n+1 $ \hspace{2}}{\hspace{2}6\hspace{2}} }$ ， $3$\displaystyle{ {\sum }\limits_{ k=1 }^{n}k=\frac{\hspace{2} n $ n+1 $ \hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}} }$

が使えるよう式変形する．

■答

$3$\displaystyle{\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}3\hspace{2}}n $ {n}^{2}- 3n- 34 $ }$

■解説

$3$\displaystyle{{\sum }\limits_{ k=1 }^{n} $ k+2 $ $ k- 5 $ }$

$3$\displaystyle{ $ k+2 $ $ k- 5 $ }$ を展開する．

$3$\displaystyle{={\sum }\limits_{ k=1 }^{n} $ {k}^{2}- 3k- 10 $ }$

和記号 $3$\displaystyle{{\Sigma}}$ の性質を利用する．

$3$\displaystyle{={\sum }\limits_{ k=1 }^{n} {k}^{2} - 3{\sum }\limits_{ k=1 }^{n}k- 10{\sum }\limits_{ k=1 }^{n}1}$

ヒントで紹介した $3$\displaystyle{\sum {k}^{2} }$ の計算式， $3$\displaystyle{\sum k }$ の計算式を適用するを適用する．

$3$\displaystyle{=\frac{\hspace{2} n $ n+1 $ $ 2n+1 $ \hspace{2}}{\hspace{2}6\hspace{2}}- 3\times \frac{\hspace{2} n $ n+1 $ \hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}- 10n}$

通分する．

$3$\displaystyle{=\frac{\hspace{2} n $ n+1 $ $ 2n+1 $ \hspace{2}}{\hspace{2}6\hspace{2}}- \frac{\hspace{2} 3\times 3\times n $ n+1 $ \hspace{2}}{\hspace{2}6\hspace{2}}- \frac{\hspace{2} 60n \hspace{2}}{\hspace{2}6\hspace{2}}}$

共通因数である $3$\displaystyle{\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}6\hspace{2}}n}$ をくくり出す

$3$\displaystyle{=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}6\hspace{2}}n \{ $ n+1 $ $ 2n+1 $ - 9 $ n+1 $ - 60 \} }$

$3$\displaystyle{=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}6\hspace{2}}n $ 2{n}^{2}+3n+1- 9n- 9- 60 $ }$

同類項をまとめ，降冪の順に並べる．

$3$\displaystyle{=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}6\hspace{2}}n $ 2{n}^{2}- 6n- 68 $ }$

共通因数である $3$\displaystyle{2}$ をくくり出す

$3$\displaystyle{=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}6\hspace{2}}n\times 2 $ {n}^{2}- 3n- 34 $ }$

約分する．

$3$\displaystyle{=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}3\hspace{2}}n $ {n}^{2}- 3n- 34 $ }$

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最終更新日： 2024年5月28日