数列の極限に関する問題

■問題

数列

$3$\displaystyle{ \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}1\hspace{2}},\text{\hspace{1} }\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}},\text{\hspace{1} }\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}3\hspace{2}},\text{\hspace{1} }\cdots ,\text{\hspace{1} }\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}n\hspace{2}},\text{\hspace{1} }\cdots \text{\hspace{1} } }$

すなわち第 $3$\displaystyle{n\text{\hspace{1} }}$ 項

$3$\displaystyle{\hspace{1}{a}_{n}=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}n\hspace{2}}\text{\hspace{1} }}$

となる数列の極限値

$3$\displaystyle{{ \lim }\limits_{ n\rightarrow \infty }\hspace{1}{a}_{n}={ \lim }\limits_{ n\rightarrow \infty }\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}n\hspace{2}}}$

を求めよ．

■答

$3$\displaystyle{{ \lim }\limits_{ n\rightarrow \infty }\hspace{1}{a}_{n}={ \lim }\limits_{ n\rightarrow \infty }\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}n\hspace{2}}=0}$

■ヒント

$3$\displaystyle{n\text{\hspace{1} }}$ が $3$\displaystyle{\text{\hspace{1} }\text{\hspace{1} }\infty\text{\hspace{1} }\text{\hspace{1} }}$ になったときに，分母，分子がそれぞれどのような値になるのかを調べる．

最後に，式全体で収束・発散を判断する．

■解き方

$3$\displaystyle{ \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}n\hspace{2}} }$ は，分子が一定であり， $3$\displaystyle{n}$ が大きくなると分母が大きくなることより

$3$\displaystyle{ n\rightarrow \infty }$ ならば， $3$\displaystyle{ \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}n\hspace{2}} }$ は限りなく $3$\displaystyle{0}$ に近づく

よって

$3$\displaystyle{{ \lim }\limits_{ n\rightarrow \infty }\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}n\hspace{2}}=0}$

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最終更新日： 2024年5月28日