数列の極限に関する問題

■問題

数列

$3$\displaystyle{\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} {1}^{2}- 1 \hspace{2}},\text{\hspace{1} }\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} {2}^{2}- 1 \hspace{2}},\text{\hspace{1} }\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} {3}^{2}- 1 \hspace{2}},\cdots \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} {n}^{2}- 1 \hspace{2}}}$ $3$\displaystyle{,\cdots }$

すなわち第 $3$\displaystyle{n\text{\hspace{1} }}$ 項

$3$\displaystyle{\hspace{1}{a}_{n}=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} {n}^{2}- 1 \hspace{2}}\text{\hspace{1} }}$

となる数列の極限値

$3$\displaystyle{{ \lim }\limits_{ n\rightarrow \infty }\hspace{1}{a}_{n}={ \lim }\limits_{ n\rightarrow \infty }\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} {n}^{2}- 1 \hspace{2}}}$

を求めよ．

■答

$3$\displaystyle{{ \lim }\limits_{ n\rightarrow \infty }\hspace{1}{a}_{n}={ \lim }\limits_{ n\rightarrow \infty }\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} {n}^{2}- 1 \hspace{2}}=0}$

■ヒント

$3$\displaystyle{n\text{\hspace{1} }}$ が $3$\displaystyle{\text{\hspace{1} }\text{\hspace{1} }\infty\text{\hspace{1} }\text{\hspace{1} }}$ になったときに，分母，分子がそれぞれどのような値になるのかを調べる．

最後に，式全体で収束・発散を判断する．

■解き方

$3$\displaystyle{\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} {n}^{2}- 1 \hspace{2}}}$ は，分子は一定 $3$\displaystyle{\text{\hspace{1} }\text{\hspace{1} } $ \text{\hspace{1} }=1\text{\hspace{1} } $ \text{\hspace{1} }\text{\hspace{1} }}$ で， $3$\displaystyle{n\text{\hspace{1} }}$ が大きくなると分母 $3$\displaystyle{ {n}^{2}- 1 }$ は大きくなることより

$3$\displaystyle{n\rightarrow \infty\text{\hspace{1} }}$ ならば， $3$\displaystyle{\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} {n}^{2}- 1 \hspace{2}}}$ は $3$\displaystyle{0\text{\hspace{1} }}$ に収束する

よって

$3$\displaystyle{{ \lim }\limits_{ n\rightarrow \infty }\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} {n}^{2}- 1 \hspace{2}}=0}$

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最終更新日： 2024年5月28日