数列の極限

■問題

$3$\displaystyle{1,\sqrt{2},\sqrt{3},\sqrt{4},\sqrt{5},\cdots ,\sqrt{n},\cdots }$

すなわち第 $3$\displaystyle{n}$ 項

$3$\displaystyle{\hspace{1}{a}_{n}=\sqrt{n}}$

の極限値

$3$\displaystyle{{ \lim }\limits_{ n\rightarrow \infty }\hspace{1}{a}_{n}={ \lim }\limits_{ n\rightarrow \infty }\sqrt{n}}$

を求めよ．

■答

$3$\displaystyle{{ \lim }\limits_{ n\rightarrow \infty }\hspace{1}{a}_{n}={ \lim }\limits_{ n\rightarrow \infty }\sqrt{n}=\infty}$

■ヒント

平方根の特徴を利用する．

■解き方

$3$\displaystyle{m={k}^{2}}$ ， $3$\displaystyle{ k=1,2,\cdots }$ の関係を満たすとすると

$3$\displaystyle{k\rightarrow \infty}$ ⇔ $3$\displaystyle{n\rightarrow \infty}$

となる．よって

$3$\displaystyle{{ \lim }\limits_{ m\rightarrow \infty }\sqrt{m}={ \lim }\limits_{ k\rightarrow \infty }\sqrt{ {k}^{2} }=}$ $3$\displaystyle{{ \lim }\limits_{ k\rightarrow \infty }k=\infty}$

となる．

次に， $3$n> m={k}^{2}$ となる $3$n$ を考えると

$3$n\rightarrow \infty$ のとき， $3$m\rightarrow \infty$ より

$3${ \lim }\limits_{ n\rightarrow \infty }\sqrt{n}> { \lim }\limits_{ m\rightarrow \infty }\sqrt{m}=\infty$

が導かれる．したがって

$3${ \lim }\limits_{ n\rightarrow \infty }\sqrt{n}=\infty$

となる．

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学生スタッフ作成

最終更新日： 2023年12月15日