KIT Mathematics Navigation
(which is translated by google translate from Japanese to other language)

number & formula	function	geometry	power & logarithm	vector	trigonometric function
complex number	derivation	integration	probability	matrix	others

数列の極限

■問題

$3$\displaystyle{\frac{\hspace{2} { $ - 1 $ }^{ 1- 1 } \hspace{2}}{\hspace{2}1\hspace{2}}\text{\hspace{1} },\text{\hspace{1} }\frac{\hspace{2} { $ - 1 $ }^{ 2- 1 } \hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}\text{\hspace{1} },\text{\hspace{1} }\frac{\hspace{2} { $ - 1 $ }^{ 3- 1 } \hspace{2}}{\hspace{2}3\hspace{2}}\text{\hspace{1} },\text{\hspace{1} }\cdot \cdot \cdot \text{\hspace{1} },\text{\hspace{1} }\frac{\hspace{2} { $ - 1 $ }^{ n- 1 } \hspace{2}}{\hspace{2}n\hspace{2}}\text{\hspace{1} },\text{\hspace{1} }\cdot \cdot \cdot }$ の行列，すなわち第 $3$\displaystyle{n\text{\hspace{1} }}$ 項 $3$\displaystyle{\hspace{1}{a}_{n}=\frac{\hspace{2} { $ - 1 $ }^{ n- 1 } \hspace{2}}{\hspace{2}n\hspace{2}}\text{\hspace{1} }}$ となる行列の極限

$3$\displaystyle{{ \lim }\limits_{ n\rightarrow \infty }\hspace{1}{a}_{n}={ \lim }\limits_{ n\rightarrow \infty }\frac{\hspace{2} { $ - 1 $ }^{ n- 1 } \hspace{2}}{\hspace{2}n\hspace{2}}}$

を求めよ．

■答

$3$\displaystyle{{ \lim }\limits_{ n\rightarrow \infty }\hspace{1}{a}_{n}={ \lim }\limits_{ n\rightarrow \infty }\frac{\hspace{2} { $ - 1 $ }^{ n- 1 } \hspace{2}}{\hspace{2}n\hspace{2}}=0}$

■方針

与式を分子・分母に分け， $3$\displaystyle{n\text{\hspace{1} }}$ が $3$\displaystyle{\text{\hspace{1} }\text{\hspace{1} }\infty\text{\hspace{1} }\text{\hspace{1} }}$ になったときの値を調べる．
最後に，式全体で収束・発散を判断する．

■解き方

$3$\displaystyle{\frac{\hspace{2} { $ - 1 $ }^{ n- 1 } \hspace{2}}{\hspace{2}n\hspace{2}}}$ は，分子は $3$\displaystyle{\text{\hspace{1} }\text{\hspace{1} }1\text{\hspace{1} }\text{\hspace{1} }}$ または $3$\displaystyle{\text{\hspace{1} }\text{\hspace{1} }- 1\text{\hspace{1} }\text{\hspace{1} }}$ で， $3$\displaystyle{\text{\hspace{1} }\text{\hspace{1} }n\text{\hspace{1} }\text{\hspace{1} }}$ が大きくなると分母 $3$\displaystyle{\text{\hspace{1} }\text{\hspace{1} }n\text{\hspace{1} }\text{\hspace{1} }}$ は大きくなるので，
$3$\displaystyle{\text{\hspace{1} }\text{\hspace{1} }n\rightarrow \infty\text{\hspace{1} }\text{\hspace{1} }}$ ならば， $3$\displaystyle{\frac{\hspace{2} { $ - 1 $ }^{ n- 1 } \hspace{2}}{\hspace{2}n\hspace{2}}}$ は $3$\displaystyle{\text{\hspace{1} }\text{\hspace{1} }0\text{\hspace{1} }\text{\hspace{1} }}$ に収束する．
よって，

$3$\displaystyle{{ \lim }\limits_{ n\rightarrow \infty }\frac{\hspace{2} { $ - 1 $ }^{ n- 1 } \hspace{2}}{\hspace{2}n\hspace{2}}=0}$

ホーム>>カテゴリー分類>>数列>>問題演習>>数列の極限

学生スタッフ作成

初版：2009年7月24日，最終更新日： 2010年11月19日

[ページトップ] $金沢工業大学$